圆锥曲线思维导图

U3101100800

2025-06-11

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定直线

几何性质

离心率

圆锥曲线

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思维导图大纲

<a id="第一部分课本基础知识核心框架"></a>第一部分：课本基础知识（核心框架）

<a id="一椭圆"></a>一、椭圆

标准方程

焦点在x轴：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)

焦点在y轴：y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0)

离心率

几何意义：衡量椭圆的扁平程度。e越接近0，椭圆越圆；e越接近1，椭圆越扁。

几何性质

对称性：关于坐标轴、原点对称。

范围：|x| ≤ a, |y| ≤ b。

准线方程（焦点在x轴）：x = ±a/e = ±a²/c。

通径：过焦点垂直于长轴的弦，长度 = 2b²/a。

焦半径公式：点P(x₀, y₀)在椭圆上（焦点在x轴）：

焦点三角形：△PF₁F₂的周长 = 2a + 2c；面积S = b²·tan(∠F₁PF₂ / 2) (常用)。

定义

第一定义：平面内到两个

第二定义：平面内到一个

<a id="二双曲线"></a>二、双曲线

标准方程

焦点在x轴：x²/a² - y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)

焦点在y轴：y²/a² - x²/b² = 1 (a > 0, b > 0)

离心率

几何意义：衡量双曲线开口大小。e越大，开口越开阔。

渐近线

焦点在x轴：y = ±(b/a)x

重要

双

焦点在y轴：y = ±(a/b)x

几何性质

对称性：关于坐标轴、原点对称。

范围（焦点在x轴）：|x| ≥ a, y ∈ R。

准线方程（焦点在x轴）：x = ±a/e = ±a²/c。

通径：过焦点垂直于实轴的弦，长度 = 2b²/a。

焦半径公式：点P(x₀, y₀)在双曲线右支上（焦点在x轴）：

焦点三角形：△PF₁F₂的面积S = b²·cot(∠F₁PF₂ / 2) (常用)。

共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线（方程形式为-x²/a² + y²/b² = 1）。它们有共同的渐近线y = ±(b/a)x。

定义

第一定义：平面内到两个

第二定义：平面内到一个

<a id="三抛物线"></a>三、抛物线

标准方程

焦点在x轴正半轴：y² = 2px (p > 0)

焦点在x轴负半轴：y² = -2px (p > 0)

焦点在y轴正半轴：x² = 2py (p > 0)

焦点在y轴负半轴：x² = -2py (p > 0)

离心率

几何性质

对称性：关于焦点所在坐标轴对称（y² = 2px关于x轴对称；x² = 2py关于y轴对称）。

范围（y² = 2px）：x ≥ 0, y ∈ R。

通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度 = 2p。

焦半径公式：点P(x₀, y₀)在抛物线y² = 2px上：

定义

平

焦

准

点

定点

定直线

相等

<a id="四共性概念"></a>四、共性概念

准线

定

离心率 (e)

统

弦

连

焦点弦

过

焦点

定

<a id="第二部分常用二级结论解题利器"></a>第二部分：常用二级结论（解题利器）

这些结论在解题中能极大提高速度和准确性，但务必强调

<a id="一焦点弦相关结论高频考点"></a>一、焦点弦相关结论（高频考点！）

双曲线

焦点弦长：|AB| = 2ab² / |a² - c²·cos²θ| (注意绝对值！θ为弦AB与焦点所在轴的夹角)。

特殊焦点弦

通径：长度2b²/a。

当弦垂直于实轴时（即通径），长度最小；弦长范围 [2b²/a, +∞)。

抛物线

焦点弦长：|AB| = x₁ + x₂ + p (y² = 2px) 或 |AB| = 2p / sin²θ (θ为弦AB与对称轴的夹角)。

特殊焦点弦

通径：最短的焦点弦，长度2p。

当弦垂直于对称轴时（即通径），长度最小；弦长范围 [2p, +∞)。

焦点弦性质

以焦点弦AB为直径的圆与准线相切。

焦点弦两端点A、B处的切线互相垂直（y² = 2px时）且在准线上相交。

1/|AF| + 1/|BF| = 2/p (y² = 2px)。

椭圆

焦点弦长：|AB| = 2ab² / (a² - c²·cos²θ) 或 |AB| = 2a - e(x₁ + x₂) (θ为弦AB与焦点所在轴的夹角，x₁, x₂为A, B横坐标)。

特殊焦点弦

通径：最短的焦点弦，长度2b²/a。

当弦垂直于长轴时（即通径），长度最小；当弦为长轴时，长度最大（2a）。

<a id="二中点弦弦中点相关结论重要技巧"></a>二、中点弦（弦中点）相关结论（重要技巧）

设弦AB的中点为M(x₀, y₀)。

双曲线 (x²/a² - y²/b² = 1)

弦AB的斜率k存在时：k·(b²x₀)/(a²y₀) = 1 或 (b²x₀)/(a²y₀) - k = 0。即 k_AB * k_OM = b²/a² (O为原点)。

推论：若已知中点M(x₀, y₀)，则弦所在直线方程为：(x₀x)/a² - (y₀y)/b² = (x₀²)/a² - (y₀²)/b²。

抛物线 (y² = 2px)

弦AB的斜率k存在时：k·y₀ = p。

推论：若已知中点M(x₀, y₀)，则弦所在直线方程为：y₀y = p(x + x₀)。

椭圆 (x²/a² + y²/b² = 1)

弦AB的斜率k存在时：k·(b²x₀)/(a²y₀) = -1 或 (b²x₀)/(a²y₀) + k = 0。即 k_AB * k_OM = -b²/a² (O为原点)。

推论：若已知中点M(x₀, y₀)，则弦所在直线方程为：(x₀x)/a² + (y₀y)/b² = (x₀²)/a² + (y₀²)/b²。

<a id="三切线相关结论"></a>三、切线相关结论

光学性质

物

双曲线

从

抛物线

从

椭圆

从

切线方程

椭圆 (x²/a² + y²/b² = 1)：(x₀x)/a² + (y₀y)/b² = 1 (点P(x₀, y₀)在椭圆上)。

双曲线 (x²/a² - y²/b² = 1)：(x₀x)/a² - (y₀y)/b² = 1 (点P(x₀, y₀)在双曲线上)。

抛物线 (y² = 2px)：y₀y = p(x + x₀) (点P(x₀, y₀)在抛物线上)。

<a id="四其他实用结论"></a>四、其他实用结论

双曲线渐近线的斜率与离心率

抛物线对称性应用

抛

过定点弦的中点轨迹

椭圆：过定点M(m, n)的弦，其中点轨迹通常是一个椭圆（或椭圆的一部分）。

双曲线、抛物线类似，轨迹通常是同类型的二次曲线（或其一部分）。

焦点三角形的面积

前

椭圆：S = b²·tan(∠F₁PF₂ / 2)

双曲线：S = b²·cot(∠F₁PF₂ / 2) (或 S = b² / tan(∠F₁PF₂ / 2))

椭圆、双曲线的共轭直径

椭

性质

椭

<a id="学习建议"></a>学习建议

推导重于记忆

在

明确使用条件

每

归类对比

将

结合典型例题

精

光学性质拓展

虽

分层次教学

基

强调基础定义

所

高考数学圆锥曲线类题目解题思路思维导图

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风雪夜人归

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