集中量数与差异量数思维导图

溪若

2022-11-16

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统计学

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统计学集中量数与差异量数思维导图

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思维导图大纲

算术平均数

概念：算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商，简称为平均数或均数。

它是一种集中量数，是某一特质“真值”的渐进、最佳的估计值。

表达公式：式中N为数据个数，Xi为每一个数据，∑为相加求和。

算术平均数的优点是：反应灵敏；计算方便；适合代数运算；受抽样变动的影响较小。

具体表现在以下几个方面：当只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数；

用加权法可以求出几个平均数的总平均数；

用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近于总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值；

在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。

算术平均数的条件特点

数据必须是同质的，即同一种测量工具所测量的某一特质；数据取值必须明确；数据离散不能太大。

算术平均数的特点：在一组数据中每个变量与平均数之差（称离均差）的总和等于零；

在一组数据中，每个数都加上一常数C，所得的平均数为原来的平均数加常数C；

在一组数据中，每个数据都乘以一个常数C，所得的平均数为原来的平均数乘以常数C。

算术平均数的缺点：易受两极端数值（极大或极小）的影响并且当一组数据中

某个数值的大小不够确切时就无法计算其算术平均数。

应用平均数的原则同质性原则，即使用同一种观测手段，采用相同的观测标准

能反映某一问题的同一方面特质的数据；平均数和个体数值相结合的原则；

平均数与标准差、方差相结合原则。

中数（Median，符号为Md）

中数，又称中位数，中点数，中值，是位于依一定顺序排列的一组数据中央位置的数值

在这一数值上、下各有一半频数分布着。即在这组数据中，有一半的数据比它大

有一半的数据比它小。这个数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。

中数的计算方法原始数值计算方法将一组原始数据依大小顺序排列后

若总频数为奇数，就以位于中央的数据作为中位数；

若总频数为偶数，则以最中间的两个数据的算术平均数作为中位数。

频数分布表计算法若一组原始数据已经编成了频数分布表，可用内插法，通过频数分布表计算中位数。

中位数虽然也具备一个良好的集中量所应具备的某些条件

例如比较严格确定，简明易懂，计算简便，受抽样变动影响较小，但是它不适合进一步的代数运算。

它适用于以下几种情况：一组数据中有特大或特小两极端数值时；

一组数据中有个别数据不确切时；资料属于等级性质时；当需要快速估计一组数据的代表值时。

众数（Mode，简称Mo）

概念：众数又称为范数，密集数，是指在次数分布中出现次数最多的那个数的数值。

它也是一种集中量数，也可用来代表一组数据的集中趋势。

计算众数的方法①直接观察求众数。直接观察求众数的方法很简单

就是只凭观察找出出现次数最多的那个数据就是众数。数据整理成次数分布表后

观察次数最多的那个分组区间的组中值为众数。依据次数分组表计算众数受分组的影响。

用公式计算的众数称为数理众数。当次数分布曲线的形式已知时，可用积分的方法求众数。

这种方法较复杂，在心理与教育统计中很少应用，而应用较多的是皮尔逊经验法和金氏插补法。

众数的意义与应用众数的概念简单明了，容易理解

但它不稳定，受分组影响，亦受样本变动影响。较少受极端数目的影响，反应不够灵敏。

众数只是一个估计值。同时，众数不能作进一步代数运算。

所以众数不是一个优良的集中量数，应用也不广泛。

离差与平均差

离差表示每一个观测值与平均数的距离大小，正负号说明了重量施于什么方向

离均差的总和为零，标志着完全平衡。有时又称离均差或偏差。

平均差是次数分布中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值。

一般用符号A.D.或M.D.来表示。平均差是根据分布中每一个观测值计算求得的

它较好地代表了数据分布的离散程度。然而，由于它在计算中要对离均差取绝对值

不利于进一步做统计分析，应用受到了限制，属于一种低效差异量数，在统计实践中不太常用。

方差与标准差方差和标准差是最常用的差异量数。度量数据变异性即离散趋势的统计量称差异量数。

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