多元函数积分学及其应用思维导图

2022-11-15

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函数

多元函数

积分学

关于《多元函数积分学》之重积分，曲线积分等内容

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思维导图大纲

重积分

定积分关于原点对称，二重积分关于线对称，三重积分关于面对称（镜像对称）

\iint_Df(x,y)dxdy若D关于x轴对称，只考虑f(x,y)关于y的奇偶性，x看作常数

\iint_Df(x,y)dxdy若关于轴x=y对称，被积函数的两个变量可以互换位置，函数值不变

曲顶柱体的体积：V=\lim\limits_{\lambda\to0}{\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)}\Delta\sigma_i

平面薄片的质量：m=\iint_D\rho(x,y)dxdy

空间立体的质量：M=\rho V=\iiint_Ώ\rho(x,y,z)dv

重积分的奇偶性

性质：

被积函数的可加性：设\alpha 和 \beta为常数，则\iint_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d \sigma=\alpha \iint_Df(x,y)d\sigma+\beta\iint_Dg(x,y)d\sigma

积分区域的可加性：\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma

如果在D上f(x,y)=1,且|D|为D的面积，则|D|=\iint_Dd\sigma

保不等式性：如果在D上，f(x,y)\le g(x,y)，则\iint_Df(x,y)d\sigma\le \iint_Dg(x,y)d\sigma

保序性：若闭区域D_1\in D_2,则\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma\le \iint_{D_2}f(x,y)d\sigma

估值不等式：设M和m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，|D|是D的面积，则m|D|\le\iint_Df(x,y)d\sigma\le M|D|

中值定理：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，|D|是D的面积，则在D上至少存在一点f(\xi,\eta)使得\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)|D|

中值定理的一般形式：设函数f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续，且g(x,y)在D上不变号，则在D上至少存在一点(\xi,\eta)使得\iint_Df(x,y)g(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\iint_Dg(x,y)d\sigma

二重积分的计算

利用直角坐标系计算二重积分

X型区域：任意一条平行于y轴的穿过区域D内部的直线与区域D的边界恰有上下两个交点

Y型区域：任意一条平行于x轴的穿过区域D内部的直线与区域D的边界恰有上下两个交点

\iint_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{b}^{a}(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy)dx

利用极坐标计算二重积分

x=\rho cos(\theta),y=\rho sin(\theta),\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho cos(\theta),\rho sin(\theta))\rho d\rho d\theta

三重积分的计算

穿线法：先线后面\iiint f (x,y,z)dv=\iint_D(\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y)dz)d\sigma

截面法：先面后线\iiint f(x,y,z)dv=\int_{c_1}^{c_2}(\iint_Df(x,y)d\sigma)dz

柱坐标法：\iiint f(x,y,z)dv=\iiint f(\rho cos(\theta),\rho sin(\theta),z)\rho d\rho d\theta dz

球坐标法：\iiint f(x,y,z)dv=\iiint f(\rho sin \varphi cos \theta,\rho isn\varphi sin\theta,\rho cos\varphi)\rho^2sin\varphi d\varphi d\rho d\theta

重积分的应用

曲面面积：S=\iint_{D_{x,y}}\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}d\sigma

坐标方程为参数方程的情形

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)

则S=\iint_D\sqrt{EG-F^2}dudv

E=x_u^2+y_u^2+z_u^2

F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v

G=x_v^2+y_v^2+z_v^2

质心

平面薄片

\bar{x}=\frac{\iint_Dx\mu(x,y)d\sigma}{\iint_D\mu(x,y)d\sigma}

\bar{y}=\frac{\iint_Dy\mu(x,y)d\sigma}{\iint_D\mu(x,y)d\sigma}

空间质心

\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint x\mu(x,y,z)dv

\bar{y}=\frac{1}{M}\iiint y\mu(x,y,z)dv

\bar{z}=\frac{1}{M}\iiint z\mu(x,y,z)dv

M=\iiint \mu(x,y,z)dv

转动惯量

平面薄片

I_x=\iint_Dy^2\mu(x,y)d\sigma,对x轴的转动惯量

I_y=\iint_Dx^2\mu(x,y)d\sigma,对x轴的转动惯量

I_o=\iint_D(y^2+x^2)\mu(x,y)d\sigma,对原点的转动惯量

空间物体

I_x=\iiint(y^2+z^2) \mu(x,y,z)dv

I_y=\iiint(z^2+x^2) \mu(x,y,z)dv

I_z=\iiint(y^2+x^2) \mu(x,y,z)dv

曲线积分

对弧长的曲线积分

\int_Lf(x,y)ds=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i,\Delta s_i称为弧微分

性质

线性性：设\alpha,\beta为常数，则\int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha \int_Lf(x,y)ds+\beta \int_Lg(x,y)ds

可加性：若积分路径L分为两个分段光滑的曲线弧L_1和L_2，则\int_Lf(x,y)ds=\int_{L_1}f(x,y)ds+\int_{L_2}f(x,y)ds

保不等式性：若在积分路径L上f(x,y)\le g(x,y)，则\int_Lf(x,y)ds\le \int_Lg(x,y)ds

计算方法

代入

下限小于上限

计算

课程链接：【微积分2】4. 曲线积分与曲面积分1——对弧长的曲线积分（3月9日直播录像）-网易公开课 (163.com)

对坐标的曲线积分

F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,向量形式，方向分正负

\int_LF(x,y)dr=\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

计算

参数方程形式：x=x(t),y=y(t),\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{a}^{b}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt

分别求出dx,dy的关系，代入原积分，变为一次积分问题

两类曲线积分之间的关系

\int_LPdx+Qdy=\int_L(Pcos\alpha+Qcos\beta)ds

Green公式及其应用

连通区域：设D为平面区域，如果D中任一曲线所围区域都属于D,则称D为单连通区域，否则称为复连通区域，简单来说，没洞的是单连通区域，有洞的是复连通区域。

设L为平面区域D的边界曲线，则L的正向是观察者沿该曲线走动时，左侧总是靠着区域内部，L的负向与此相反。

Green公式：设平面有界闭区域D由充分光滑曲线L围成，函数P=P(x,y),Q=Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数，则如图，其中L是D的正向边界曲线。

当\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1时得出的就是所围封闭图形的面积

当一个积分路径L不是有向闭曲线的积分不易直接计算时，可以采用补充一段或几段相对简单的有向曲线把L修补为分段光滑的有向闭曲线L.

\int_{a}^{b}{F'(x)dx}=F(b)-F(a)表示在区间上的定积分可以利用区间端点的函数值来表达

挖小洞方法：对于不连续的区域采用挖洞处理，挖的洞要便于计算第二类曲线积分，通常为圆或椭圆，（注意方向）（公开课网址：https://open.163.com/newview/movie/free?pid=SH4Q46EBS&mid=BH4Q61THK）

例题：计算曲线积分\oint_{L}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2},其中L是一条不经过原点且方向为逆时针方向的有向光滑连续闭曲线。

解法：P(x,y)=\frac{-y}{4x^2+y^2},Q(x,y)=\frac{x}{4x^2+y^2}，易得出\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},因为当(0,0)不在封闭区域上，得出的面积为0，当(0,0)在封闭区域上，采用挖小洞的方法将不连续点除去，设小洞的封闭曲线为C,则有面积S=\oint_{L}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}+\oint_{C^-}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2},(可以看作大区域面积减去挖洞的面积得到所要求的面积)，因为\oint_{L}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}为0，所以S=\oint_{C^-}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2},设x=\frac{\varepsilon}{2}cos(\theta),y=\varepsilon sin(\theta),算出C^-的面积即可得出结果。

平面上曲线积分与积分路径无关的情况：

在区域D中，在$A和B之间任意连接一条线（不出界），都有\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_{L_2}Pdx+Qdy成立，其中L_1,L_2是从A到B的两种路径。

设D是一个\color{yellow}单连通区域,函数P=P(x,y),Q=Q(x,y)在D上有\color{yellow}一阶连续偏导数，则下列条件等价：（可由循环论证验证）

沿D内任意简单闭曲线L的曲线积分\oint_{L}Pdx+Qdy=0

曲线积分\int_{L}Pdx+Qdy在D内与路径无关。

在D内表达式Pdx+Qdy是某一个二元函数u(x,y)的全微分

等式\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}在区域D内恒成立。

如果满足du=Pdx+Qdy，则\int_{L}Pdx+Qdy=u(B)-u(A)，曲线积分的基本定理

若u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy。则选择积分路径为平行于坐标轴的折线段，有u(x,y)=\int_{x_0}^{x}Q(x_0,y)+\int_{y_0}^{y}P(x,y)

计算方法：可由两段平行于x轴和y轴的直线来当作积分路径，设起点为(0,0)，终点为(x_0,y_0),AB段平行于x轴，\int_{AB}Pdx+Qdy=\int_{0}^{x_0}Pdx,BC段平行于y轴，\int_{BC}Pdx+Qdy=\int_{0}^{y_0}Qdy,所以结果为\int_{L}Pdx+Qdy=\int_{0}^{x_0}Pdx+\int_{0}^{y_0}Qdx.