多元函数微分学及其极限思维导图

2022-11-15

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函数

多元函数

微分学

《多元函数微分学》之复合函数和隐函数的求导法则等内容

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思维导图大纲

多元函数及其极限与连续

平面点集，邻域

定义：坐标平面上具有某种性质P的点的集合，成为平面点集，记作{E=(x,y)|(x,y)具有某种性质}

邻域U(P_0),去心邻域\hat{U}(P_0)

邻域公理

给定集合X，映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的幂集的幂集），U将X中的点x映射到X的子集族U(x)），称U(x)是X的邻域系以及U(x)中的元素（即X的子集）为点x的邻域，当且仅当U满足以下的邻域公理：

U1：若集合A∈U(x)，则x∈A。

U2：若集合A,B∈U(x)，则A∩B∈U(x)。

U3：若集合A∈U(x)，且A⊆B⊆ X，则B∈U(x)。

U4：若集合A∈U(x)，则存在集合B∈U(x)，使B⊆A，且∀y∈B，B∈U(y)。

内点：如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)\in E,则称P为E的内点。

外点：如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P) \cap E=\emptyset,则称P为E的外点。

边界点：如果在点P的任意一个邻域内既包含属于E的点，又包含不属于E的点，则称P为E的边界点。

聚点：如果对于任意给定的\delta > 0,点P的去心邻域\hat{U}(P,\delta)内均包含属于E的点，则称P是E的聚点。

开集：如果点集E中的每一个点都是内点，则称E是开集。

闭集：如果点集E的边界\delta E \in E,则称E是闭集。

连通集：如果点集E中任何两点，都可以用完全属于E的折线相连，则称E是连通集。

开区域，闭区域，区域：连通的非空开集称为开区域，开区域连同它的边界构成的点称为闭区域，开区域，闭区域，以及开区域连同它的部分边界构成的点统称为区域。

多元函数

极限：设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，P_0(x,y)是D的聚点，如果存在常数A满足，对于任意给定的正数\epsilon,总存在正数\delta，使得当点P(x,y) \in D \cap \hat{U}(P_0,\delta)时，有|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\epsilon,成立，则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)\to(x_0,y_0)时的极限，记作\lim\limits_{P\to P_0}{f(P)}=\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}{f(x,y)}=A

二重极限：如果在函数f的定义域内，点p以某种特殊方式，比如沿着一条直线或曲线趋向P_0时，f(P)能够无限趋向确定的数值A，不能断定函数f的极限存在，但是反过来，如果函数f以不同方式趋于P_0时，f(P)趋于不同的实数，或不能趋于确定的数时，则可以断言函数f的极限不存在。

二元函数极限的性质和运算法则（洛必达法则除外）

二元函数的极限

根据函数连续性直接代入

根据等价无穷小替换

利用恒等变形式将不可直接代入的转换为可直接代入的

夹逼定理

先估计后计算

利用极坐标

变量替换法，二元变一元

利用无穷小量与有界量的乘积任为无穷小量

多元函数的连续性（所有的初等函数在n\geqslant 2时，它们在各自定义域内都连续）

函数的间断点：1，函数无定义 2，函数无极限 3，函数值和极限值都存在，但二者不相等

偏导数与全微分

将某一个变量看作唯一的自变量，其它的变量都视作常数，进行求导。

几何意义：偏导数f_x(P_0)可以视作曲线在点P_0点对x轴的斜率

混合函数在连续的情况下，与求导次序无关。

拉普拉斯方程：\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0

全微分：z=f(x,y)，dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy

偏导数存在未必连续，函数连续未必偏导，两者不存在关系。

全微分的近似计算：f(x+\varDelta x,y+\varDelta y)\approx f(x,y)+f_x(x,y)\varDelta x+f_y(x,y)\varDelta y

复合函数和隐函数的求导法则

一元函数与多元函数复合的链式求导法则

设函数u=\varphi(t),v=\psi(t)在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)可微分，则复合函数z=f(\varphi(t),\psi(t))在点t点可导，且\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial t}。

\color{yellow}连线相乘，分道相加

全微分形式不变性：

设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)上具有连续偏导数，z=f(u,v)在对应点(u,v)上也具有连续偏导数，函数z=f(u(x,y),v(x,y))在点(x,y)上可微分，并且dz=\frac{\partial f}{\partial u}du+\frac{\partial f}{\partial v}dv

隐函数存在定理

一：设f(x,y)满足

在点P(x_0,y_0)的某邻域内具有连续偏导数；

F(x_0,y_0)=0;

F_y(x_0,y_0)\ne0

则在点P的某邻域内，方程F(x,y)=0一定能够确定一个具有连续性的导函数y=f(x)，它满足F(x,f(x))=0，并且\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}

二：条件类比一，有\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}

对于方程组可以对两边求导再解方程组得出式子

方向导数和梯度

方向导数：就是梯度与单位向量的点积

设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，则它在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta,(cos\alpha,cos\beta)是方向l的方向余弦

梯度：就是由偏导数组成的向量，\nabla f(P)=gradf(P)=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})

微分学的几何应用

空间曲线的切线和法平面

参数方程空间曲线参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t)

则曲线在某一点的切向量为T=r'(t_0)=(x'(t),y'(t),z'(t))

切线方程为\frac{x-x_0}{x'(t)}=\frac{y-y_0}{y'(t)}=\frac{z-z_0}{z'(t)}

与该切线方程垂直的是该点的法平面，为x'(t)(x-x_0)+y'(t)(y-y_0)+z'(t)(z-z_0)=0

一般方程：F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0，表示两个曲面的交线

切线方程为：\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{y'(x_0)}=\frac{z-z_0}{z'(x_0)},其中y=y(x),z=z(x)

法平面方程为：(x-x_0)+y'(x)(y-y_0)+z'(x)(z-z_0)=0

空间曲面的切平面和法线

设F(x,y,z)=0，x=x(t),y=y(t),z=z(t)，对t=t_0求导有F_x(P_0)x'(t_0)+F_y(P_0)y'(t_0)+F_z(P_0)z'(t_0)=0,即T gradF(P_0)=0

切平面方程：F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0

法线方程：\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}

多元函数的极值与最值

极值与最值

极值：在某个范围内的最值，极值可以有许多个

最值：在函数值域内的最大/小值，最值只有一个

极值存在的必要条件：若函数z=z(x,y)在点(x_0,y_0)存在偏导数，且在该点有极值，则F_x(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0)=0,(x_0,y_0)也称为函数的驻点，极值的存在点有两个，一是驻点，二是偏导数不全存在的点

充分条件：设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某个邻域内存在二阶连续偏导数，f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0，令A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)，则

（1）.当AC-B^2>0时，(x_0,y_0)是极值点，且若A>0,则f(x_0,y_0)为极小值，若A<0，f(x_0,y_0)是极大值

（2）.当AC-B^2=0时，(x_0,y_0)不确定是否是极值点

（3）.当AC-B^2<0时，f(x_0,y_0)不是极值

极值的求法：

求出函数全部的驻点和偏导数不存在的点

对每一个驻点进行ABC分析

当AC-B^2\ne 0时，判断是否为极值

最值的求法：

求出所有的边界点和极值点

求出函数值并比较

条件极值的拉格朗日乘数法求极值

一：构建拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)

二：求偏导数L_x(x,y)和L_y(x,y)，建立方程组

三：解方程组，求出可能的极值点

思考与拓展

泰勒定理

设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某一邻域U内具有直到n+1阶连续偏导数，则当点(x_0,y_0)\in U时，有

f(x,y)=f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)+...+\frac{1}{n!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0，y_0)+\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k),h=x-x_0,k=y-y_0,0<\theta<1,(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0)=\sum\limits_{l=0}^{n}{l\choose n}h^lk^{n-l}\frac{\partial^nf}{\partial x^l\partial y^{n-l}}|_{(x_0,y_0)}，{l \choose n}表示从n个元素中取l个的组合数

最小二乘法

工程材料及其成型基础（第三版）机械工业出版社思维导图