《级数》思维导图

2022-11-15

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级数

幂级数

函数

《级数》之级数敛散的判别法与幂级数的内容

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思维导图大纲

级数的概念和性质

给定一个数列u_1,u_2,u_3...,u_n...，则由这无穷多个数依次相加所形成的表达式u_1+u_2+u_3+...+u_n+...,叫做一个数项级数，简称级数，记为\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,其中u_n为级数的一般项

记s_n为级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n的前n项和，若\lim\limits_{n \to \infty}s_n = s,则称级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛,否则称级数发散

性质

一：设常数k \ne 0,则级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n与\sum\limits_{n=1}^{\infty},同时收敛或发散，且当它们同时收敛时，有\sum\limits_{n=0}^{\infty}ku_n=k\sum\limits_{n=0}^{\infty}u_n

二：设级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n均收敛，且其和分别为s和\sigma,则级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n(\pm)v_n)=s(\pm)\sigma,(若一个级数收敛，另一个级数发散，则它们的和与差发散。)

三：在级数中加上，或去掉有限项，不会改变级数的收敛和发散性，但当级数收敛时，一般会改变级数的和

四：设级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛，则在该级数的求和表达式中任意加括号所形成的级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n=(u_1+u_2+u_3+...+u_n)+(u_{n_1+1}+...+u_{n_2})+...也收敛，且和不变，逆否命题也成立

五：（级数收敛的必要条件）如果级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛，则它的一般项u_n趋于0，即有\lim\limits_{n\to \infty}{u_n}=0，逆否命题也成立

六：（柯西审敛原理）：级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数\epsilon,存在正整数N,使得当n>N时，对任意的正整数p，都有|u_{n+1}+u_{n+2}+u_{n+3}+...+u_{n+p}|<\epsilon成立

级数敛散的判别法

给定一个等比数列\sum\limits_{n=0}^{\infty}aq^n=a+aq+aq^2+aq^3+...(q\ne 0),其中a是常数，如果|q|<1，则该级数收敛，如果|q| \ge 1,则该级数发散.

正项级数的敛散判别法：正项级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛的充分必要条件时它的部分和数列s_n有界

比较判别法：设\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n是正项级数，且u_n\le v_n,若\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n收敛，则\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛，若\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n发散，则\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n发散（可以用等价无穷小替换）

改进格式，将v_n变为kv_n，结论不变

极限格式：设\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n都是正项级数，则

当\lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l,0<l<\infty,级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n有相同的敛散性

当\lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=0(或\lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=+\infty)时

若\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n发散，则\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n发散

若\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n收敛，则\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n收敛

比值判别法：设\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n为正项数列，且\lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=l

当l<1时，级数\sum\limits_{u_n}^{\infty}收敛

当l>1时，级数\sum\limits_{u_n}^{\infty}发散

当l=1时，级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n也可能收敛，也可能发散

根值判别法：设\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n为正项级数，且\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{u_n}=l，则当l<1时，级数收敛，当l>1时，级数发散,当l=1时，级数可能收敛也可能发散

莱布尼兹判别法：如果u_n\ge u_{n+1}，且u_n\to0(n\to \infty)，则交错级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n收敛（若u_n\to0时，则u_n-u_{n+1}\to0,可以根据性质四验证）

绝对收敛（绝对值之和收敛）：若正项级数的每一项的绝对值之和收敛，则称为绝对收敛

条件收敛：若原级数满足收敛，但不满足绝对收敛，则称为条件收敛

绝对收敛的级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n一定收敛

幂级数

函数项级数：\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)...+u_n(x)

如果级数在x=x_0处收敛，则x_0称为函数项级数的收敛点，如果发散，则称为发散点，由收敛点组成的全体称为它的收敛域，由发散点组成的全体称为它的发散域

对于收敛域内的任意一点，数项级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)的和s(x)是与x相对应的一个确定的实数，当x在收敛域变化时，s(x)就成为了变量x的函数，成为和函数，记为s(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...,和函数的定义域就是收敛域

幂级数：\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x-a)^n,a_n为系数

阿贝尔定理：若级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n(x_0\ne 0)收敛，则对适合|x|<|x_0|的所有x,级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n都绝对收敛，若级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n(x_0\ne 0)发散，则对适合|x|>|x_0|的所有x,级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n都发散。(x_0为收敛半径)

如果幂级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n的系数a_n满足\lim\limits_{n\to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho,则幂函数的收敛半径为(R=\frac{1}{\rho},0<\rho <+\infty),(R=+\infty,\rho=0),(R=0,\rho=+\infty)

幂函数的运算

四则运算

加法和减法运算：\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n(\pm)\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n(\pm)b_n)x^n

乘法运算：\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n*\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n其中(c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+a_2b_{n-2}+a_3b_{n-3}+...+a_nb_0)

除法运算：\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n/\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_bx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}d_nx^n，其中b_0d_n+b_1d_{n-1}+b_2d_{n-2}+...+b_nd_0=a_n

性质

连续性：幂函数的求和运算和极限运算是可以交换顺序的\lim\limits_{x\to x_0}s(s)=s(x_0)

可导性：s'(x),多次求导后函数的收敛半径和原函数相同，收敛区间不一定相同

可积性：\int_{x}^{x_0}s(t)dt，多次求导后函数的收敛半径与原函数相同，收敛区间不一定相同

函数的幂级数展开

设f(x)在某个区间I上有定义，x_0是I中的一个点，且存在x_0的某邻域U(x_0)使得U(x_0)\in I,如果存在一个幂函数\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,x\in U(x_0),它在U(x_0)中收敛，且和函数恰好为f(x)，即f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,x\in U(x_0),则称函数f(x)在点x_0附近能展开称幂级数。此时，\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)称为函数f(x)在点x_0的幂级数展开。

泰勒展开式：f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0),x\in U (x_0)

泰勒展开式的充分必要条件是余项趋于0.

麦克劳林斯公式即泰勒公式在x_0=0处的展开式。f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,|x|<r

函数展开为幂级数的方法：

直接展开法（计算量较大）

一：求出f(x)的各阶导数f^{(n)}(x)(n=1,2,3...)并代入x=0，得出f^{(n)}(0)(n=1,2,3...)

二：利用公式a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(n=1,2,3,...)得出幂级数，并求出收敛半径R和收敛域

三：利用泰勒余项R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}，其中\theta\in(0,1),如果余项为0，则幂函数展开式为泰勒展开式，如果余项不为0，则不能展开为泰勒展开式

间接展开法

通过已有的展开式进行换元或简单变换得到目标展开式

\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,-1<x<1

e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n,-\infty<x<+\infty

sin(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1},-\infty<x<+\infty

如cos(x)=sin'(x)=(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1})'

近似计算

解微分方程

Fourier级数

任何周期函数都可以用正弦和余弦的无穷级数来表示

设一个周期为2\pi的函数f(x),则f(x)可表示为f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx)),称为三角级数

易证:\int_{-\pi}^{\pi}sin(mx)cos(nx)dx=0（奇函数的性质）

\int_{-\pi}^{\pi}cos(mx)cos(nx)dx 当m=n时，等于\pi,当m\ne n 时，等于0

\int_{-\pi}^{\pi}sin(mx)sin(nx)dx, 当m=n时，等于\pi,当m\ne n 时，等于0

上述性质称为三角函数的正交性

直接写结论：a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx, a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx, b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx

狄利克雷收敛定理：设f(x)是周期为2\pi的周期函数，且满足

(1).在一个周期内连续或至少只有有限个第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）

(2).在一个周期内至多有有限个极值点

则称f(x)的傅里叶级数收敛，且和函数s(x)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},若x是连续点，则s(x)=f(x),若x是间断点，则s(x)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}（左右极限的算数平均值）

展开傅里叶级数的步骤

求出傅里叶级数表达式（求出a_0,a_n,b_n）

狄利克雷定理判断收敛性

求出和函数s(x)

正弦级数和余弦级数

正弦级数：傅里叶展开式全为正弦的级数（余弦项系数都为0），\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_nsin(nx)，f(x)为奇函数，不计x=(2k-1)\pi

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx=0.n\ge 0

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n\ge 1

余弦级数：傅里叶展开式全为余弦的级数（正弦项系数都为0），\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_ncos(nx)，f(x)为偶函数，不计x=(2k-1)\pi

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx=0.n\ge 1

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n\ge 0

一般周期的周期函数的傅里叶级数

设f(x)是周期为2l的周期函数，其中l>0，运用换元法:F(x)=f(\frac{l}{\pi}x)得f(x)得傅里叶级数

a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos(\frac{n\pi}{l}x)dx,n=1,2,3...

b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin(\frac{n\pi}{l}x)dx,n=1,2,3...

以\frac{\pi}{l}x代替x

有限区间上定义的函数的周期延拓及傅里叶级数

有限区间为[a,b]，可以用变量替换x=\frac{(2t-a-b)\pi}{b-a}或x=\frac{(t-a)\pi}{b-a}转换为区间[-\pi,\pi]或[0,\pi]上定义的函数

对于定义在区间[-\pi,\pi]上的函数f(x)

一：在区间[-\pi,\pi)之外补充定义，形成一个在R上定义的周期为2\pi的周期函数F(x),使它在[-\pi,\pi)上与f(x)相等，这方法称为周期延拓

二：写出F(x)的傅里叶级数，并讨论其收敛性

三：考察级数在区间[-\pi,\pi]上的收敛点x，若傅里叶级数的和等于f(x),则在这些点上便得到f(x)的傅里叶展开式

对于定义在区间[0,\pi]上的函数f(x)

第一种方法：首先在[0,\pi)之外补充定义，形成一个在R上定义的周期为\pi的周期函数F(x),使它在[0,\pi)上与f(x)相等，其次按照周期为\pi的周期函数写出F(x)的傅里叶级数，最后讨论该级数的收敛性，并把x限制在区间[0,\pi]上，得出f(x)的傅里叶展开式

第二种方法：首先在区间[-\pi,0)上补充定义，形成一个在[-\pi,\pi]上定义的不计x=0或x=(\pm)\pi的奇函数或偶函数F(x)，它在[0,\pi)上与f(x)相等，其次按照[-\pi,\pi]上定义的函数的展开步骤，将F(x)展开为正弦或余弦级数，最后把x限制在[0,\pi]上，得出f(x)的傅里叶展开式

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