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玖月

2025-07-02

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逻辑回归的损失函数

逻辑回归有哪些应用

逻辑回归的损失函数、逻辑回归有什么优点、逻辑回归常用的优化方法有哪些内容详述

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思维导图大纲

7. 逻辑回归常用的优化方法有哪些

7.2 二阶方法：牛顿法、拟牛顿法

7.1 一阶方法

8. 逻辑斯特回归为什么要对特征进行离散化。

9. 逻辑回归的目标函数中增大L1正则化会是什么结果。

1. 什么是逻辑回归

逻辑回归是用来做分类算法的，大家都熟悉线性回归，一般形式是Y=aX+b，y的取值范围是[-∞, +∞]，有这么多取值，怎么进行分类呢？不用担心，伟大的数学家已经为我们找到了一个方法。

逻辑回归的目标函数如下所示：

https://camo.githubusercontent.com/9bb71ce1b2e0fe80944f2bf385c5f9cf9177cb09f5ca61689346f14e8c2e3f41/68747470733a2f2f6c617465782e636f6465636f67732e636f6d2f6769662e6c617465783f7a3d25354374686574615f302b25354374686574615f31585f312b25354374686574615f32585f32img,[object Object]

也就是把Y的结果带入一个非线性变换的

2. 什么是Sigmoid函数

函数公式如下：

https://camo.githubusercontent.com/3571cf9bf4a31109275e28fa6eaa2e5a9b801c7f35090d7c27568db965da469b/68747470733a2f2f7778342e73696e61696d672e636e2f6c617267652f30303633304465666c7931673470766b32637461746a333063773062363379712e6a7067

函数中t无论取什么值，其结果都在[0,-1]的区间内，回想一下，一个分类问题就有两种答案，一种是“是”，一种是“否”，那0对应着“否”，1对应着“是”，那又有人问了，你这不是[0,1]的区间吗，怎么会只有0和1呢？这个问题问得好，我们假设分类的

好了，接下来我们把aX+b带入t中就得到了我们的逻辑回归的一般模型方程：

https://latex.codecogs.com/gif.latex?H(a,b

结果P也可以理解为概率，换句话说概率大于0.5的属于1分类，概率小于0.5的属于0分类，这就达到了分类的目的。

3. 损失函数是什么

逻辑回归的损失函数是

https://camo.githubusercontent.com/b18628e3c0560281acd5e14f43ec09e3e6a507f18b16d60d72d9a1c9b26f1aae/68747470733a2f2f7778312e73696e61696d672e636e2f6c617267652f30303633304465666c793167347076747a337477396a333065743034763073772e6a7067

公式中的 y=1 表示的是真实值为1时用第一个公式，真实 y=0 用第二个公式计算损失。为什么要加上log函数呢？可以试想一下，当真实样本为1是，但h=0概率，那么log0=∞，这就对模型最大的惩罚力度；当h=1时，那么log1=0，相当于没有惩罚，也就是没有损失，达到最优结果。所以数学家就想出了用log函数来表示损失函数。

最后按照梯度下降法一样，求解极小值点，得到想要的模型效果。

4.可以进行多分类吗？

可以的，其实我们可以从二分类问题过度到多分类问题(one vs rest)，思路步骤如下：

1.将类型class1看作正样本，其他类型全部看作负样本，然后我们就可以得到样本标记类型为该类型的概率p1。

2.然后再将另外类型class2看作正样本，其他类型全部看作负样本，同理得到p2。

3.以此循环，我们可以得到该待预测样本的标记类型分别为类型class i时的概率pi，最后我们取pi中最大的那个概率对应的样本标记类型作为我们的待预测样本类型。

总之还是以二分类来依次划分，并求出最大概率结果。

5.逻辑回归有什么优点

LR能以概率的形式输出结果，而非只是0,1判定。

LR的可解释性强，可控度高(你要给老板讲的嘛…)。

训练快，feature engineering之后效果赞。

因为结果是概率，可以做ranking model。

6. 逻辑回归有哪些应用

CTR预估/推荐系统的learning to rank/各种分类场景。

某搜索引擎厂的广告CTR预估基线版是LR。

某电商搜索排序/广告CTR预估基线版是LR。

某电商的购物搭配推荐用了大量LR。

某现在一天广告赚1000w+的新闻app排序基线是LR。

7. 逻辑回归常用的优化方法有哪些

7.1 一阶方法

梯度下降、随机梯度下降、mini 随机梯度下降降法。随机梯度下降不但速度上比原始梯度下降要快，局部最优化问题时可以一定程度上抑制局部最优解的发生。

7.2 二阶方法：牛顿法、拟牛顿法：

这里详细说一下牛顿法的基本原理和牛顿法的应用方式。牛顿法其实就是通过切线与x轴的交点不断更新切线的位置，直到达到曲线与x轴的交点得到方程解。在实际应用中我们因为常常要求解凸优化问题，也就是要求解函数一阶导数为0的位置，而牛顿法恰好可以给这种问题提供解决方法。实际应用中牛顿法首先选择一个点作为起始点，并进行一次二阶泰勒展开得到导数为0的点进行一个更新，直到达到要求，这时牛顿法也就成了二阶求解问题，比一阶方法更快。我们常常看到的x通常为一个多维向量，这也就引出了Hessian矩阵的概念（就是x的二阶导数矩阵）。

缺点：牛顿法是定长迭代，没有步长因子，所以不能保证函数值稳定的下降，严重时甚至会失败。还有就是牛顿法要求函数一定是二阶可导的。而且计算Hessian矩阵的逆复杂度很大。

拟牛顿法：不用二阶偏导而是构造出Hessian矩阵的近似正定对称矩阵的方法称为拟牛顿法。拟牛顿法的思路就是用一个特别的表达形式来模拟Hessian矩阵或者是他的逆使得表达式满足拟牛顿条件。主要有DFP法（逼近Hession的逆）、BFGS（直接逼近Hession矩阵）、 L-BFGS（可以减少BFGS所需的存储空间）。

8. 逻辑斯特回归为什么要对特征进行离散化。

非线性！非线性！非线性！逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合；离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代；

速度快！速度快！速度快！稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易扩展；

鲁棒性！鲁棒性！鲁棒性！离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性：比如一个特征是年龄>30是1，否则0。如果特征没有离散化，一个异常数据“年龄300岁”会给模型造成很大的干扰；

方便交叉与特征组合：离散化后可以进行特征交叉，由M+N个变量变为M*N个变量，进一步引入非线性，提升表达能力；

稳定性：特征离散化后，模型会更稳定，比如如果对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为一个用户年龄长了一岁就变成一个完全不同的人。当然处于区间相邻处的样本会刚好相反，所以怎么划分区间是门学问；

简化模型：特征离散化以后，起到了简化了逻辑回归模型的作用，降低了模型过拟合的风险。

9. 逻辑回归的目标函数中增大L1正则化会是什么结果。

所有的参数w都会变成0。

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