高等数学第三章思维导图

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2025-12-06

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思维导图大纲

一、微分中值定理

罗尔定理

条件：函数f(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导 f(a) = f(b) 结论：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = 0 几何意义：在满足条件的曲线上，至少存在一点切线平行于x轴

拉格朗日中值定理

条件：函数f(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导结论：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = [f(b)-f(a)]/(b-a) 几何意义：在曲线上至少存在一点切线平行于连接两端点的割线推论：若f'(x) ≡ 0，则f(x)为常数函数

柯西中值定理

条件：函数f(x), g(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导 g'(x) ≠ 0 (x∈(a,b)) 结论：存在ξ∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ) 与拉格朗日定理的关系：当g(x) = x时，柯西定理退化为拉格朗日定理

二、洛必达法则

基本形式 0/0型未定式条件：lim f(x)=0, lim g(x)=0 结论：lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)（若极限存在） ∞/∞型未定式条件：lim f(x)=∞, lim g(x)=∞ 结论：lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)（若极限存在）

其他未定式转化 0·∞型转化为0/(1/∞)或∞/(1/0) ∞-∞型通分或提取公因式转化为0/0或∞/∞ 0^0, 1^∞, ∞^0型取对数转化为0·∞型，再进一步转化

使用注意事项验证条件是否满足可多次使用，直到得到确定结果注意结合其他求极限方法

三、泰勒公式

泰勒中值定理带拉格朗日余项的泰勒公式 f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n! + Rₙ(x) 余项：Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!，ξ在x₀与x之间带佩亚诺余项的泰勒公式 f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n! + o((x-x₀)ⁿ)

麦克劳林公式（特殊形式）当x₀=0时的泰勒公式常用展开式 e^x = 1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n! + o(xⁿ) sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ... + (-1)ᵐ⁻¹x²ᵐ⁻¹/(2m-1)! + o(x²ᵐ) cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... + (-1)ᵐx²ᵐ/(2m)! + o(x²ᵐ⁺¹) ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ... + (-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n + o(xⁿ) (1+x)^α = 1 + αx + α(α-1)x²/2! + ... + C(α,n)xⁿ + o(xⁿ)

四、函数单调性与极值

函数单调性判定一阶导数判定法 f'(x) > 0 ⇒ f(x)单调递增 f'(x) < 0 ⇒ f(x)单调递减区间单调性在区间I上f'(x) ≥ 0（且不恒为0）⇒ f(x)在I上严格单调递增

函数极值极值定义局部最大值：存在邻域，f(x₀) ≥ f(x) 局部最小值：存在邻域，f(x₀) ≤ f(x) 必要条件（费马定理）若f(x)在x₀处可导且取得极值，则f'(x₀) = 0 第一充分条件通过f'(x)在x₀两侧的符号变化判断左正右负 ⇒ 极大值左负右正 ⇒ 极小值同号 ⇒ 不是极值第二充分条件 f'(x₀)=0，f''(x₀)≠0 f''(x₀)<0 ⇒ 极大值 f''(x₀)>0 ⇒ 极小值

驻点与极值点关系可导函数的极值点必为驻点驻点不一定是极值点（如y=x³在x=0处）