高等数学（下）思维导图

U562904909

2024-06-22

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高等数学

教学应用

教学内容

向量代数，空间解析几何，教学应用等内容讲解

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思维导图大纲

向量代数与空间解析几何

向量

向量定义，模长

计算

内积：a.b= x1x2+y1y2 = |a| |b| cost

向量积：= a×b |a| |b| sint = 平行四边形面积

混合积：[a,b,c]=(a×b).c = 平行六面体体积（注意绝对值）

平面和空间直线

空间平面

一般式：Ax+By+C

点向式

参数方程：x=x0+mt ; y=y0+nt ; z=z0+pt (p为参数）

直线

一般方程：Ax+By+Cz+D=0

点法式

三点式

截距式

点到直线距离公式

平面束

（A1x+B1y+C1z+D1) + k(A2x+B2y+C2z+D2) = 0

空间曲面

柱面：少一个字母

旋转面：绕轴旋转（绕哪个哪个不变，另一变剩下两个平方和）

二次曲面

锥面

单叶双曲面

双叶双曲面

椭圆抛物面

双曲抛物面

多元函数微分学及其应用

多元数值函数

定义

极限

连续性

可微条件

各个条件间关系：偏导连续→可微→其他

微分法

偏导数求法：链式求导（4个类型，树形图）

全微分：一阶微分形式不变性

隐函数求导法

公式法

求导法

微分法

方向导数和梯度

方向导数

定义法

公式法

梯度

性质

沿梯度正（反）方向方向导数增加（减少）最快

梯度总是垂直等值线切线方向，越密集越大

计算：方向导数变化率

多元函数性质

极值存在条件

必要条件：f(x,y)在点p(x0,y0)可导且取极值 → fx=0，fy=0

充分条件

邻域内有一，二阶连续偏导数且偏导为零 → A，B，C关系

找驻点或不可导点

拉格朗日乘数法

已知方程 + k（约束条件）= 0

多元函数积分学及其应用

重积分

累次积分

二重积分

积分区域类型

x型

y型

意义：被积函数为1时表示区域面积

三重积分

轮换对称性：满足右手系

求法

先二后一：利用截面面积

先一后二：利用投影

对称性：奇消去偶翻倍（注意上下限）

积分换元法

极坐标：r dr

柱坐标：r dθdr

球坐标：r²sinφ dθdφdr

一般换元法：|J| dudv（雅可比行列式的绝对值）

第一型曲线积分（对弧长的积分）

意义：可表示以L为准线，母线平行于z轴的柱面面积

计算：√(r²＋r'²) dθ / √(x'²＋y'²) dt

第一型曲面积分（对面积的积分）

意义：被积函数为1时表示曲面面积

计算

dS =√( 1 ＋ z'(x)² ＋ z'(y)² )

可以将曲面方程代入被积函数计算

应用

质心

质心坐标公式：xρ(x,y) dσ / ρ(x,y) dσ

形心坐标公式：x dxdy / A(面积)

惯性矩

I = 距离² × 质量

引力

性质：矢量（矢量叠加原则）

计算【单位质点对(0,0,a)点】：dF = Gm/r² dM = Gmρ(x,y) / (x²+y²+a²) dσ

含参变量的积分

被积函数含参

连续性

可导性

积分限含参

连续性

可导性

计算：被积函数对参数求导再积分 + 上限代入乘上限导－下限代入乘下限导

多元向量值函数积分

第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）

定义：积分微元是有向切线微元

计算

转为第一型：Pdx+Qdy+Rdz = Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t) dt

格林公式

正向边界：沿曲线行走始终在观察者左侧

公式：（Q对x偏导－ P对y偏导）对面积积分

补线：尽量选取与坐标轴平行直线

奇点：取x²+y²=ε²反方向（包住奇点代入方程消去）

积分与路径无关条件

条件：4点（通常偏导相同）

计算：取特殊路径转换为曲线积分

全微分方程

计算

求导法

凑微分法

积分法

积分因子：使非全微分方程转化为全微分方程

积分倒推公式

第二型曲面积分（有向曲面积分）

有向曲面

方向：+前－后，+右－左，+上－下

有向曲面微元：有向曲面微元 = 面积微元 × cosγ dxdy（cos可正可负）

计算：Pcosα＋Qcosβ＋Rcosγ dS = Pdydz＋Qdxdz＋Rdxdy（加上“+—”号）

高斯公式

公式：偏导相加对体积积分

适用条件：封闭，光滑，一阶可导，外侧

散度

计算：偏导相加

意义：判断有源有汇无源

与梯度关系：转换数量场和向量场

斯托克斯公式

公式：三行三列行列式 dS（第一行补缺，第二行按序，第三行对应）

适用条件：封闭，光滑，有向，符合右手系

旋度

计算：三行三列行列式（第一行ijk）

无穷级数

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