(1)变形1:有 n 个相同的元素,要求分到 m 组中,问有多少种不同的分法?
解题思路:这种问题是允许有些组中分到的元素为 "0",也就是组中可以为空的。对于这样的题,我们就首先将每组都填上 1 个,这样所要元素总数就 m 个,问题也就是转变成将( n+m )个元素分到 m 组,并且每组至少分到一个的问题,也就可以用插板法来解决。
例题:有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里,共有( )种不同方法 。
解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加 1 个,则球的总数为 8+3 脳1=11,此题就有 C(10 ,2) =45(种)分法了。
(2)变形2:有 n 个相同的元素,要求分到 m 组,要求各组中分到的元素至少某个确定值 S( s>1,且每组的 s值可以不同) ,问有多少种不同的分法?
解题思路: 这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值 s,各组分到的不是至少为一个了。 对于这样的题,我们就首先将各组都填满,即各组就填上对应的确定值 s 那么多个,这样就满足了题目中要求的最起码的条件,之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面提到的变形1的问题了,也就可以用插板法来解决。
例题:15 个相同的球放入编号为 1、2、 3 的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法?
编号 2:至少 2 个:需预先添加 1 个球,则总数 -1 ;
编号 3:至少 3 个,需预先添加 2 个,才能满足条件,后面添加一个,则总数 -2 ;
则球总数 15-1-2=12 个放进 3 个盒子里,所以 C(11,2)=55 (种)。
通过上面的例题,我们可以看到在排列组合题其实是有方法及步骤可循的,只要大家能够牢记做题步骤即可快速作出答案。望大家能够熟练掌握,在考场做到快速解题。