根据我国婚姻法的规定，李某不仅不需要承担李某某的抚养费还可以请求张某支付精神损害赔偿金。因为张某的行为符合我国婚姻法第四十六条规定的具体情形中的第二种。
1、根据《中华人民共和国婚姻法》第21条规定“父母对子女有抚养教育的义务;子女对父母有赡养扶助的义务”。最高人民法院《关于贯彻执行<民法通则>若干问题的意见(试行)》第10条规定：“监护人的监护职责包括：保护被监护人的身体健康，照顾被监护人的生活，管理和保护被监护人的财产，代理被监护人进行管理和教育，对被监护人进行管理和教育……”。父母是未成年的法定监护人，父母包括生父母、养父母和继父母。本案中，李某某并不是李某的亲生儿子而是他妻子张某与别人所生，李某与李某某之间既非生父子也非养父子和继父子的关系，李某不需要支付李某某抚养费。
2、根据我国婚姻法四十六条的规定：有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：(一)重婚的;(二)有配偶者与他人同居的;(三)实施家庭暴力的;(四)虐待、遗弃家庭成员的。本案张某是否具有婚姻法四十六条列举的四种情形是李某是否可以取得损害赔偿的关键，笔者认为张某具有“有配偶者与他人同居”这一情形，李某某的存在就是最好的证明。尽管在一审时张某起诉离婚时的理由是“夫妻感情确以破裂”但是从本质上来看，张某的外遇是其起诉离婚最主要的原因。
3、一审时李某并不知道张某的外遇这一情形因而没有请求损害赔偿，二审时是否可以主张?根据最高人民法院关于适用《中华人民共和国婚姻法》若干问题的解释(一)(以下简称解释一)第三十条第三款：无过错方作为被告的离婚诉讼案件，一审时被告未基于婚姻法第四十六条规定提出损害赔偿请求，二审期间提出的，人民法院应当进行调解，调解不成的，告知当事人在离婚后一年内另行起诉。及解释一第二十八条：婚姻法第四十六条规定的“损害赔偿”包括物质赔偿和精神赔偿。涉及精神损害赔偿的，适用最高人民法院《关于确定民事侵权精神损害赔偿责任若干问题的解释》的有关规定。本案中，李某因在一审期间对张某外遇并不知晓未提起精神损害赔偿在二审期间提出，二审法院进行调解后张、李双方争执不下，根据法律规定李某可以“在离婚后一年内另行起诉”这意味着李某享有张某支付精神损害赔偿的诉权，李某只要按照法律规定的期限提起诉讼并承担相应的举证责任后可以依据我国婚姻法的规定取得相应的精神损害赔偿，具体可以参照李某受损害的程度以及当地的经济发展水平等来确定具体的数额。
引用法条
[5]《最高人民法院关于人民法院执行工作若干问题的规定（试行）》
[6]《最高人民法院关于确定民事侵权精神损害赔偿责任若干问题的解释》
