11,经典中的经典:相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消:对于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]注:隔项相加保留四项,即首两项,尾两项。自己把式子写在草稿纸上,那样看起来会很清爽以及整洁!
12,爆强△面积公式:S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)注:这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题!
13,你知道吗?空间立体几何中:以下命题均错:1,空间中不同三点确定一个平面;2,垂直同一直线的两直线平行;3,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4,如果一条直线与平面内无数条直线垂直,则直线垂直平面;5,有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;6,有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体都是棱锥注:对初中生不适用。
14,一个小知识点:所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。
15,求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值。答案为:当n为奇数,最小值为(n²-1)/4,在x=(n+1)/2时取到;当n为偶数时,最小值为n²/4,在x=n/2或n/2+1时取到。
16,√〔(a²+b²)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b为正数,是统一定义域)
17,椭圆中焦点三角形面积公式:S=b²tan(A/2)在双曲线中:S=b²/tan(A/2)说明:适用于焦点在x轴,且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。
18,爆强定理:空间向量三公式解决所有题目:cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的模×向量b的模]|一:A为线线夹角,二:A为线面夹角(但是公式中cos换成sin)三:A为面面夹角注:以上角范围均为[0,派/2]。
19,爆强公式1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+1)²
20,爆强切线方程记忆方法:写成对称形式,换一个x,换一个y。举例说明:对于y²=2px可以写成y×y=px+px再把(xo,yo)带入其中一个得:y×yo=pxo+px
21,爆强定理:(a+b+c)²n的展开式[合并之后]的项数为:Cn+22,n+2在下,2在上
22,[转化思想]切线长l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心得距离,r为圆半径,而d最小为圆心到直线的距离。
23,对于y²=2px,过焦点的互相垂直的两弦AB、CD,它们的和最小为8p。爆强定理的证明:对于y²=2px,设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔(sinA)²〕,所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)²],所以求和再据三角知识可知。(题目的意思就是弦AB过焦点,CD过焦点,且AB垂直于CD)
24,关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强:∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
25,关于解决证明含ln的不等式的一种思路:爆强:举例说明:证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左边看成是1/n求和,右边看成是Sn。解:令an=1/n,令Sn=ln(n+1),则bn=ln(n+1)-lnn,那么只需证an>bn即可,根据定积分知识画出y=1/x的图。an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。注:仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广,就是把左边、右边看成是数列求和,证面积大小即可。说明:前提是含ln。
26,爆强简洁公式:向量a在向量b上的射影是:〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。记忆方法:在哪投影除以哪个的模
27,说明一个易错点:若f(x+a)[a任意]为奇函数,那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕,同理如果f(x+a)为偶函数,可得f(x+a)=f(-x+a)牢记!
28,离心率爆强公式:e=sinA/(sinM+sinN)注:P为椭圆上一点,其中A为角F1PF2,两腰角为M,N
29,椭圆的参数方程也是一个很好的东西,它可以解决一些最值问题。比如x²/4+y²=1求z=x+y的最值。解:令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!
30,[仅供有能力的童鞋参考]]爆强公式:和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
32,三角形垂心爆强定理:1,向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心,H为垂心)2,若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上,则它的垂心也在这个函数图象上。
33,维维安尼定理(不是很重要(仅供娱乐)),--正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值,这定值等于该三角形的高。
34,爆强思路:如果出现两根之积x1x2=m,两根之和x1+x2=n,我们应当形成一种思路,那就是返回去构造一个二次函数,再利用△大于等于0,可以得到m、n范围。
35,常用结论:过(2p,0)的直线交抛物线y²=2px于A、B两点。O为原点,连接AO.BO。必有角AOB=90度
36,爆强公式:ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。举例说明:ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)<1(n≥2)证明如下:令x=1/(n²),根据ln(x+1)≤x有左右累和右边再放缩得:左和<1-1/n<1证毕!
37,函数y=(sinx)/x是偶函数。在(0,派)上它单调递减,(-派,0)上单调递增。利用上述性质可以比较大小。
38,函数y=(lnx)/x在(0,e)上单调递增,在(e,+无穷)上单调递减。另外y=x²(1/x)与该函数的单调性一致。
39,几个数学易错点:1,f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件;2,在研究函数奇偶性时,忽略最开始的也是最重要的一步:考虑定义域是否关于原点对称!;3,不等式的运用过程中,千万要考虑"="号是否取到!4,研究数列问题不考虑分项,就是说有时第一项并不符合通项公式,所以应当极度注意:数列问题一定要考虑是否需要分项!
40,提高计算能力五步曲:1,扔掉计算器;2,仔细审题(提倡看题慢,解题快),要知道没有看清楚题目,你算多少都没用!;3,熟记常用数据,掌握一些速算技巧;4,加强心算,估算能力;5,[检验]!。
41,一个美妙的公式…:爆强!已知三角形中AB=a,AC=b,O为三角形的外心,则向量AO×向量BC(即数量积)=(1/2)[b²-a²]强烈推荐!证明:过O作BC垂线,转化到已知边上
42,①函数单调性的含义:大多数同学都知道若函数在区间D上单调,则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小),但有些意思可能有些人还不是很清楚,若函数在D上单调,则函数必连续(分段函数另当别论)这也说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增,因为它的图像被无穷多条渐近线挡住,换而言之,不连续.还有,如果函数在D上单调,则函数在D上y与x一一对应.这个可以用来解一些方程.至于例子不举了.②函数周期性:这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期设f(x)为R上的函数,对任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加绝对值,下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)设T≠0,有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)满足M[M(x)]=x,且M(x)≠x则函数的周期为2