频率域思维脑图思维导图

王马甲同学

2024-01-03

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频率域

频域滤波

低通滤波

频域滤波，低通滤波等内容讲解

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思维导图大纲

傅立叶变换

一维连续

二维连续

一维

一维离散（DFT）

F(偶数)的虚数系数为0

F0的值为整幅图像平均亮度采样

二维离散

二维离散傅里叶变换频谱是F值的绝对值，e.g.|F(0,1)| = |0.25-0.25j|=0.36

纯色图像的傅里叶变换

移中

未移中结果图：四角低频，中间高频

在傅里叶变换前处理，f*（-1）^（x+y）移中处理的好处：可清晰地看出图像频率分布，更加直观、更符合周期性的原理；可分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰

共轭二维对称：左上角=右下角，右上角=左下角

F(0, 0) 是整个图像的平均灰度，也即最低频率  F(u, v) 在靠近(u, v) = (0, 0)附近包含了低频信息：代表的是灰度变化缓慢的光滑区域  距离(u, v) = (0, 0) 越远，其频率越大.  F(u, v)在远离(u, v) = (0, 0)区域包含了高频信息：代表的是灰度变化剧烈的区域，如边缘  高亮度表明频率特征明显，亮点多：尖锐；暗点多：柔和  频谱图中心明显的频率变换方向与原图像中地物方向垂直，即如果原图像中有多种水平分布的地物，那么频谱图中垂直方向的频率变化较明显；如果原图像中地物左下-右上分布，那么频谱图中左上-右下方向频率变化较明显，反之亦然。

二维傅里叶性质

平移 Translation

分配律

梯度变化符合分配率

缩放Scaling

旋转 Rotation

周期性与共轭对称性 Periodicity and Conjugate Symmetry

频谱原点对称

可分离性 Separability

卷积与相关性 Convolution and Correlation

傅立叶谱|F(u, v)|，可以对其作为图像强度来显示，图像亮度正比于幅度。  幅度谱常常具有巨大的动态范围  仅仅最亮的部分频谱可见  因此，对其进行对数变换（暗的变亮），可以提高其细节的显示能力

频域滤波

1. 对输入图像乘以(-1) (x+y)以对图像进行移中 2. 对1的结果进行二维离散傅立叶变换(DFT)，计算F(u,v) 3. 对F(u,v)乘上滤波函数H(u,v) 4. 对3的结果进行离散傅立叶逆变换 5. 取4的结果的实部 6. 对5的结果乘上(-1)^ (x+y)获得空域的滤波后图像

空间域和频域中的滤波器形成FT对，即给定频域中的一个滤波器，我们可以通过取其逆FT来获得空间域中相应的滤波器

陷波滤波notch filter

中心点扣掉

低通滤波 Low-Pass Filtering

Ideal

在r＜5的圆中90%的图像能量  低频：平滑区域  其他区域10%的图像功率  大多数高频：边缘、纹理、噪声  “振铃”现象

理想低通滤波器可以用计算机模拟实现，但却不能用电子元器件来实现。  理想低通滤波器平滑处理的概率清晰，但在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象，D0越小，这种现象越严重。

时域矩形的频率响应对应于一个sinc函数

PT是通过对u至M-1和v至N-1的每个点处的功率谱P（u，v）的分量求和而获得的。  半径为r、原点位于频率矩形中心的圆包含由以下表达式给出的功率的百分比：通过beta算圈内能量占比所有能量

Butterworth 巴特沃兹低通滤波器

巴特沃兹低通滤波器又称为最大平坦滤波器。  与理想低通滤波器不同，它的通带和阻带之间没有明显的不连续性。也就是说，在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带。  通常把H(u,v)下降到某一值的那点定位为截止频率D0。  When D(u,v) = D0, H(u,v) = 0.5  i.e. down 50% from its maximum value of 1.

n越大，越接近理想滤波器（振铃） 2没有振铃

与理想低通滤波器的处理结果相比，巴特沃兹滤波器处理的图像模糊程度减少，因为它的H(u,v)不是陡峭的截止特性，它的尾部会包含大量的高频成分。  另外经巴特沃兹低通滤波器处理的图像将不会有振铃现象。这是由于在滤波器的通带和阻带之间有一平滑过渡的缘故。

Gaussian

傅里叶变换后仍然是高斯，不会有振铃