导数及其应用思维导图

啊平

2025-07-31

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导数应用

核心应用

导数定义

导数的基础概念，核心应用相关内容讲解

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思维导图大纲

导数的基础概念

瞬时变化率

函数 y = f(x) 在点 x = x₀ 处的瞬时变化率，描述自变量 x 在 x₀ 处发生微小变化时，函数值 y 变化的快慢程度

几何意义

函数 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率 k

物理意义

如果 s = s(t) 表示运动物体的位移关于时间的函数，则 s'(t₀) 表示物体在 t = t₀ 时刻的瞬时速度 v(t₀)

导数的定义

函数 y = f(x) 在 x = x₀ 处的导数定义为

f'(x₀) = lim_(Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

或 f'(x₀) = lim_(x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)

理解：当自变量的增量 Δx 趋近于 0 时，函数值的平均变化率 (Δy / Δx) 的极限值

导函数

如果函数 y = f(x) 在开区间 (a, b) 内的每一点都可导，则称 f(x) 在 (a, b) 内可导

此时，对于 (a, b) 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数值 f'(x)。这样就建立了一个新的函数，叫做 f(x) 的导函数，简称导数，记作 f'(x)、y' 或 dy/dx

求导法则

基本初等函数导数公式 (必须牢记！)

(C)' = 0 (C为常数)

(xⁿ)' = n*xⁿ⁻¹ (n为有理数，幂函数)

(sin x)' = cos x

(cos x)' = -sin x

(eˣ)' = eˣ

(aˣ)' = aˣ * ln a (a > 0, a ≠ 1)

(ln x)' = 1/x (x > 0)

(logₐ x)' = 1/(x ln a) (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

导数的四则运算法则

[u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x)

[u(x) * v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

[u(x) / v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]² (v(x) ≠ 0)

复合函数求导法则 (链式法则)

设 y = f(u), u = g(x)，则复合函数 y = f(g(x)) 的导数为

dy/dx = dy/du * du/dx 或 y'ₓ = f'(u) * g'(x)

关键：逐层求导，弄清复合层次

简单隐函数求导

方程 F(x, y) = 0 确定了 y 是 x 的函数

求导方法：方程两边同时对 x 求导，遇到 y 时，将其看作 x 的函数 (即 y = y(x))

利用复合函数求导法则，得到包含 y' 的方程，解出 y'

参数方程求导

若曲线由参数方程 {x = φ(t), y = ψ(t)} (t 为参数) 给出

导数 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = ψ'(t) / φ'(t) (要求 φ'(t) ≠ 0)

导数的核心应用

利用导数研究函数的单调性

定理

设函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内可导

如果在 (a, b) 内 f'(x) > 0，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递增

如果在 (a, b) 内 f'(x) < 0，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递减

如果在 (a, b) 内 f'(x) ≥ 0 (或 ≤ 0) 且仅在有限个点处导数为零，则 f(x) 在 (a, b) 上单调不减 (或单调不增)

应用步骤

确定函数 f(x) 的定义域

求导数 f'(x)

解方程 f'(x) = 0，求出所有驻点 (导数为零的点)

用驻点以及导数不存在的点（不可导点）将定义域划分成若干子区间

在每个子区间内判断 f'(x) 的符号

根据符号确定 f(x) 在各子区间上的单调性

利用导数求函数的极值

极值

函数 f(x) 在点 x₀ 处的函数值 f(x₀) 比其附近所有点的函数值都大（或都小），则称 f(x₀) 是函数 f(x) 的一个极大值（或极小值），点 x₀ 称为极大值点（或极小值点）。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点

必要条件

可导函数 f(x) 在点 x₀ 处取得极值的必要条件是 f'(x₀) = 0（即 x₀ 是驻点）或 f'(x₀) 不存在（即 x₀ 是不可导点）

充分条件（常用）

第一充分条件（符号变化法）

求导 f'(x)

求所有驻点和不可导点

检查 f'(x) 在驻点和不可导点左右邻域的符号变化

如果 f'(x) 在 x₀ 左侧由正变负，则 f(x) 在 x₀ 处取得极大值

如果 f'(x) 在 x₀ 左侧由负变正，则 f(x) 在 x₀ 处取得极小值

如果 f'(x) 在 x₀ 左右符号相同，则 f(x) 在 x₀ 处无极值

第二充分条件（二阶导数法）

设 f(x) 在 x₀ 处二阶可导，且 f'(x₀) = 0

若 f''(x₀) > 0，则 f(x) 在 x₀ 处取得极小值

若 f''(x₀) < 0，则 f(x) 在 x₀ 处取得极大值

若 f''(x₀) = 0，则此法失效，需用第一充分条件

注意：极值是局部概念，在一个区间内可能有多个极值点，极大值不一定大于极小值

利用导数求函数的最值

最值

函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值

求解闭区间 [a, b] 上连续函数 f(x) 最值的步骤

求 f(x) 在开区间 (a, b) 内的所有驻点和不可导点 x₁, x₂, ..., xₙ

计算函数值 f(a), f(b), f(x₁), f(x₂), ..., f(xₙ)

比较步骤 2 中计算出的所有函数值，其中最大的就是函数在 [a, b] 上的最大值，最小的就是函数在 [a, b] 上的最小值

注意

最值是全局概念，针对整个区间而言。极值点不一定是最值点，最值点可能在区间端点

利用导数解决优化问题（应用题）

核心思想

将实际问题转化为数学问题，建立目标函数（通常需要求其最大值或最小值），利用导数求其最值

常见类型

几何问题

面积最大、体积最大、周长最小、材料最省等（如矩形面积最大、圆柱/圆锥体积最大、盒子容积最大）

物理问题

速度、加速度、功率、效率等的最大值或最小值

经济问题

成本最低、利润最大、收益最大等（通常涉及成本函数、收益函数、利润函数）

解题步骤

审题建模

仔细阅读题目，明确要优化的目标（如利润最大、成本最低）和约束条件（如材料总量、时间限制）。选择适当的自变量（如长度、时间、产量）

建立函数关系

将目标表示为自变量的函数 y = f(x)（目标函数）。注意定义域（由约束条件决定）

求导并找临界点

对目标函数 f(x) 求导 f'(x)，令 f'(x) = 0，解出所有驻点（临界点）。检查定义域内是否有不可导点（应用题中较少）

判断最值

比较所有临界点和区间端点（如果定义域是闭区间）处的函数值。根据实际问题确定最大值或最小值

作答

给出符合题目要求的答案（包括最优解和最优值）

利用导数研究函数图象

结合单调性、极值、最值、渐近线等信息，可以更准确地描绘函数的图象草图。导数能帮助我们判断函数在何处上升、下降、达到峰谷

利用导数证明不等式

构造辅助函数法

将要证明的不等式变形（移项、通分等），使其一端为 0，另一端构造一个辅助函数 F(x)。即要证 f(x) > g(x)，可构造 F(x) = f(x) - g(x)，转化为证 F(x) > 0

求导 F'(x)，研究 F(x) 的单调性或最值

利用单调性（如在区间 [a, b] 上 F'(x) > 0 则 F(x) 递增，F(a) > 0 可推出 F(x) > 0）或最值（如 F(x) ≥ F(min) 且 F(min) > 0）来证明不等式

利用函数单调性

直接利用某个基本初等函数或已知单调性的函数来证明不等式（例如利用 eˣ > x + 1 (x > 0) 证明其他不等式）

利用导数研究方程的根

研究方程 f(x) = 0 的根的个数（或函数 f(x) 的零点个数）

方法

求导 f'(x)，确定 f(x) 的单调区间和极值点

分析函数在定义域（或指定区间）内的单调性变化

结合函数图象的趋势（如 x→∞ 时 f(x) 的趋向）和零点存在定理（若函数在 [a, b] 上连续，且 f(a)f(b) < 0，则 (a, b) 内至少有一个零点），通过考察极值的正负符号、函数在区间端点的符号等来判断根的个数

关键

讨论清楚函数在各个单调区间上的取值情况，特别是极大值和极小值的符号对零点个数的影响

重要注意事项

定义域优先

无论是求导、讨论单调性、极值、最值还是解应用题，首要步骤都是明确函数的定义域

可导性

导数的定义和应用都建立在函数可导的基础上。要关注导数的存在性，特别是不可导点（如分段函数的分段点、尖点）往往是单调性改变或极值可能存在的点

临界点

在求极值和最值时，驻点 (f'(x)=0) 和不可导点统称为临界点。所有临界点都需要考虑

充分条件

导数为零的点 (f'(x₀)=0) 只是取得极值的必要条件，不是充分条件。必须用第一或第二充分条件进行检验

最值与极值

明确区分极值（局部概念）和最值（全局概念）。闭区间上的连续函数，其最值一定存在，可能在极值点或端点取得

应用题的建模

这是难点。要仔细分析题目中的变量关系、约束条件，正确建立目标函数及其定义域。定义域通常由实际意义（如长度 > 0, 时间 > 0）或约束条件决定

计算准确性

求导计算（尤其是复合函数、分式函数）是基础，务必熟练准确。计算错误会导致后续分析全盘皆错

数形结合

在分析单调性、极值、零点时，结合函数图象的草图进行思考，有助于直观理解

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