锐角三角函数思维导图

啊平

2025-07-31

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三角函数

函数值

函数关系

基本概念，三角函数值，函数应用相关内容讲解

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思维导图大纲

基本概念

定义

在直角三角形中，锐角的三角函数值定义为该锐角的对边、邻边与斜边之间的比值

前提：必须有一个角是直角（90°），且研究的角是锐角（小于90°）

三边关系

斜边

直角所对的边，最长

对边

所研究锐角所对的边

邻边

所研究锐角相邻的直角边（不是斜边）

三个主要函数

正弦

sin A = ∠A的对边 / 斜边 = a / c

余弦

cos A = ∠A的邻边 / 斜边 = b / c

正切

tan A = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = a / b

记忆口诀

"对正邻余切邻对" 或 "正弦对斜，余弦邻斜，正切对邻"

一个常用函数

余切

cot A = ∠A的邻边 / ∠A的对边 = b / a = 1 / tan A

特殊角的三角函数值

必须熟记以下三个特殊角（30°, 45°, 60°）的 sin, cos, tan 值

角度 θ

sin θ

cos θ

tan θ

30°

1/2

√3/2

√3/3

45°

√2/2

60°

√3/2

1/2

√3

规律总结

sin30° = cos60°, sin60° = cos30°, sin45° = cos45°

tan30° * tan60° = 1

角度增大（0°→90°）：sin值增大，cos值减小，tan值增大

解直角三角形

核心

利用锐角三角函数、勾股定理 (a² + b² = c²) 以及直角三角形的两个锐角互余 (∠A + ∠B = 90°) 的关系，由已知的边和角，求未知的边和角

基本类型

已知斜边和一个锐角：如 c, ∠A

求边： a = c * sinA, b = c * cosA

求角： ∠B = 90° - ∠A

已知一条直角边和一个锐角：如 a, ∠A

求斜边： c = a / sinA (或 c = b / cosA，需先求b)

求邻边： b = a / tanA

求角： ∠B = 90° - ∠A

已知两条直角边：如 a, b

求斜边： c = √(a² + b²) (勾股定理)

求锐角： tanA = a/b → 查表或用计算器求∠A, ∠B = 90° - ∠A

已知斜边和一条直角边：如 c, a

求另一条直角边： b = √(c² - a²) (勾股定理)

求锐角： sinA = a/c (或 cos B = a/c) → 查表或用计算器求∠A, ∠B = 90° - ∠A

三角函数的简单应用

核心思想

将实际问题抽象或转化为解直角三角形的问题

常见模型

仰角与俯角

仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角

俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角

应用场景：测量建筑物高度、山高、气球高度等

坡度

定义：坡面的铅直高度 (h) 与水平宽度 (l) 的比，即坡度 i = h / l

与坡角 α 的关系： i = tan α。坡度越大，坡角越大

应用场景：修路、筑坝、工程设计等

方向角

定义：以正北或正南方向为基准，向东或向西偏转的角度表示方向。如北偏东30° (N30°E)，南偏西60° (S60°W)

应用场景：航海、航行、位置确定等

其他几何问题：利用三角函数求等腰三角形、梯形、菱形等图形中的边长或角

重要关系与性质

互余角的三角函数关系

若 ∠A + ∠B = 90°，则

sinA = cos B

cosA = sinB

tanA = cotB (或 tanA * tanB = 1)

同角三角函数关系

sin²A + cos²A = 1 (平方关系)

tanA = sinA / cosA (商数关系)

cotA = cosA / sinA = 1 / tanA

锐角三角函数的增减性： (0° < A < 90°)

sinA 随 A 增大而增大

cosA 随 A 增大而减小

tanA 随 A 增大而增大

取值范围： (0° < A < 90°)

0 < sinA < 1

0 < cosA < 1

tanA > 0

四年级下册数学第五单元思维导图

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