图形的相似思维导图

啊平

2025-07-31

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基本概念

三角形判定

三角形应用

相似三角形的性质，判定，基本概念相关内容讲解

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思维导图大纲

相似图形的基本概念

相似形

形状相同的图形叫做相似形

核心：对应角相等，对应边成比例

相似比（相似系数）

相似图形对应边的长度比叫做相似比，通常用字母 k 表示。

k = 新图形边长 / 原图形对应边长或 k = A图形边长 / B图形对应边长

k > 1 表示放大；k < 1 表示缩小；k = 1 表示全等（全等是相似的特例）

相似多边形

两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形

记作：多边形ABCDE ∽ 多边形A'B'C'D'E'

性质

对应角相等

对应边成比例

周长的比等于相似比（k）

面积的比等于相似比的平方（k²）。 (这是重点和易错点)

相似三角形的判定（重中之重）

预备定理（平行线截三角形相似）

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

基本图形： “A字形” 和 “8字形(X字形)”

符号语言： ∵ DE // BC, ∴ △ADE ∽ △ABC

判定定理1：两角分别相等（AA / AAA）

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似

符号语言： ∵ ∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∴ △ABC ∽ △A'B'C'

说明：两个角相等，第三个角必然相等（三角形内角和180°），所以也叫做“AAA”判定法。这是最常用、最直接的判定方法

判定定理2：两边成比例且夹角相等（SAS~）

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似

符号语言： ∵ AB/A'B' = AC/A'C', 且 ∠A = ∠A', ∴ △ABC ∽ △A'B'C'

关键：成比例的两边必须是夹角的两边，且夹角相等

判定定理3：三边成比例（SSS~）

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似

符号语言： ∵ AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A', ∴ △ABC ∽ △A'B'C'

相似三角形的应用

测量问题

利用相似三角形的性质，可以测量不能直接到达的两点间的距离（如河宽），或不能直接测量的物体的高度（如旗杆、高楼）

常用方法：构造相似三角形（利用影子、镜面反射、标杆等）

位似图形

定义

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点（位似中心），对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形

位似比

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比

性质

位似是特殊的相似，具有相似的所有性质。位似中心可以在图形之间、图形内部或图形外部

作图

利用位似中心可以放大或缩小图形

相似三角形的性质

如果△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为 k，则

对应角相等： ∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'

对应边成比例： AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' = k

对应高、中线、角平分线的比等于相似比（k）

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比

周长的比等于相似比（k）：周长(△ABC) / 周长(△A'B'C') = k

面积的比等于相似比的平方（k²）：面积(△ABC) / 面积(△A'B'C') = k²

比例的性质与比例线段

比例的基本性质：如果 a/b = c/d，那么 ad = bc (交叉相乘)

合比性质：如果 a/b = c/d，那么 (a±b)/b = (c±d)/d

等比性质：如果 a/b = c/d = ... = m/n = k (b+d+...+n≠0)，那么 (a+c+...+m)/(b+d+...+n) = k

平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

推论（三角形一边平行线的性质）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

基本图形：同样对应“A字形”和“8字形(X字形)”

符号语言（推论）： ∵ DE // BC, ∴ AD/DB = AE/EC 或 AD/AB = AE/AC = DE/BC

904名中国成年人第三磨牙相关知识、态度、行为和病史的横断面调查思维导图

U633687664

3.9

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9.战斗的基督教思维导图

U582679646

3.63

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