常微分方程思维导图

tonghui

2026-01-25

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思维导图大纲

第一章绪论

§ 1.1 常微分方程模型

§ 1.2 常微分方程基本概念和学习常微分方程的重要性

1.2.1 常微分方程基本概念

1.2.1 学习常微分方程的重要性

第二章一阶微分方程的初等解法

§ 2.1 变量分离方程与变量变换

2.1.1 变量分离方程

2.1.2 可化为变量分离方程的类型

2.1.3 应用举例

§ 2.2 线性微分方程与常数变易法

§ 2.3 恰当微分方程与积分因子

2.3.1 恰当微分方程

2.3.2 积分因子

§ 2.4 一阶隐式微分方程与参数表示

2.4.1 可以解出y（或x）的方程

2.4.2 不显含y（或x）的方程

第三章一阶微分方程的解的存在定理

§ 3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法

3.1.1 存在唯一性定理

3.1.2 近似计算和误差估计

§ 3.2 解的延拓和解对初值的连续性与可微性

3.2.1 解的延拓

3.2.2 解对初值的连续性与可微性

* § 3.3 奇解

3.3.1 包络和奇解

3.3.2 克莱罗微分方程

* § 3.4 数值解

3.4.1 欧拉方法

3.4.2 龙格—库塔方法

第四章高阶微分方程

§ 4.1 线性微分方程的一般理论

4.1.1 齐次线性微分方程的解的性质与结构

4.2.1 非齐次线性微分方程与常数变易法

§ 4.2 常系数线性微分方程的解的性质与结构

4.2.1 常系数齐次线性微分方程

4.2.2 非齐次线性微分方程与比较系数法

4.2.3 质点振动

§ 4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法

4.3.1 可降阶的一些方程类型

4.3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法

* 4.3.3 第二宇宙速度的计算

第五章线性微分方程组

§ 5.1 线性微分方程组的一般理论

5.1.1 齐次线性微分方程组

5.1.2 非齐次线性微分方程组

§ 5.2 常系数线性微分方程组

5.2.1 基解矩阵 exp At

5.2.2 基解矩阵的计算公式

§ 5.3 拉普拉斯变换

5.3.1 微分方程的拉普拉斯变换法

5.3.2 微分方程组的拉普拉斯变换法

第六章非线性微分方程

§ 6.1 稳定性：李雅普诺夫稳定性与V函数

6.1.1 李雅普诺夫稳定性

6.1.2 按线性近似决定稳定性

6.1.3 V函数方法（李雅普诺夫第二方法）

§ 6.2 定性：奇点、极限环及平面图貌

6.2.1 奇点

6.2.2 极限环

6.2.3 平面图貌

* § 6.3 哈密顿方程、孤立子和混沌

6.3.1 哈密顿方程与完全可积性

6.3.2 孤立子

6.3.3 洛伦兹方程

6.3.4 虫口模型和李-约克混沌定理

第七章一阶线性偏微分方程

§ 7.1 首次积分和求解常微分方程

7.1.1 基本概念

7.1.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系

7.1.3 利用首次积分求解常微分方程组

§ 7.2 一阶线性偏微分方程的解法

7.2.1 一线齐次线性偏微分方程

7.2.2 一阶拟线性偏微分方程

§ 7.3 柯西问题

7.3.1 一阶线性（拟线性）偏微分方程几个解释

7.3.2 线性偏微分方程柯西问题

* § 7.4 李群分析与对称

7.4.1 李变换群

7.4.2 对称

第八章边值问题

§ 8.1 边值问题的可解性和待定系数法

8.1.1 边值问题的概念和可解性

8.1.2 待定系数法

§ 8.2 格林函数

§ 8.3 本征值和本征函数

8.3.1 本征值和本征函数

8.3.2 自伴的本征值问题

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第一章 绪论

第二章 一阶微分方程的初等解法

第三章 一阶微分方程的解的存在定理

第四章 高阶微分方程

第五章 线性微分方程组

第六章 非线性微分方程

第七章 一阶线性偏微分方程

第八章 边值问题