信号与系统思维导图

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2024-06-29

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信号系统

系统讲解

数据讲解

信号与系统，信号的傅里叶级数表示等内容讲解

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思维导图大纲

第一章信号与系统

信号与系统概述

即作为一个或几个独立变量函数的信号都包含了有关某些现象性质的信息;而系统总是对给定的信号做出响应，从而产生另外的信号，或产生某些所需的特性。

-信号的概念及分类

概念

信号可以描述范围极为广泛的一类物理现象。虽然信号可以用许多方式来表示，但是在所有的情况下，信号所包含的信息总是寄寓在某种变化形式的波形之中。

功率信号和能量信号

功率信号

能量无限功率有限

能量信号

能量有限，功率为0

无始无终信号

能量无限功率无限

基本概念

信号的能量

连续信号

离散信号

信号的功率

连续信号

离散信号

连续信号和离散信号

连续信号

连续信号是指在时间上连续变化的信号，其在任意时间点上都有定义。例如，模拟信号（如声音、温度、电压等）通常是连续信号。连续信号的特点是可以在任意时间点上取值，其数学表示通常为一个连续的函数。

离散信号

离散信号是指在时间上只有离散时间点上有定义的信号。换句话说，离散信号只在特定的时间点上取值，而在其他时间点上没有定义。离散信号通常由连续信号通过采样得到。

周期信号和非周期信号

周期信号

周期信号是指在时间上呈周期性变化的信号，即信号在某个固定时间间隔后重复出现。周期信号的一个周期内的波形完全相同，其数学表示为x(t)=x(t+T)：，其中 T是周期。

非周期信号

非周期信号是指在时间上不呈周期性变化的信号，即信号不会在固定时间间隔后重复出现。非周期信号的波形在不同时间段内可能完全不同。

信号的变换

尺度变换

时间尺度

定义

对信号的时间轴进行拉伸或压缩操作。通过改变时间变量的尺度，改变信号的时间分布。

公式

如果 x(t) 是原始信号，则时间尺度变换后的信号为 x(a*t)，其中 a 是时间尺度因子。

幅值尺度

定义

对信号的幅度进行放大或缩小操作。通过乘以一个常数因子，改变信号的整体幅度。

公式

如果 x(t) 是原始信号，则幅值尺度变换后的信号为 A 乘以 x(t)，其中 A 是幅值尺度因子。

求和

定义

将两个或多个信号相加，得到一个新的信号。相加操作可以是瞬时的，也可以是累积的。

公式

如果 x1(t) 和 x2(t) 是两个信号，则相加后的信号为 x(t) 等于 x1(t) 加 x2(t)。

相乘

定义

将两个信号逐点相乘，得到一个新的信号。相乘操作可以用于调制和混频。

公式

如果 x1(t) 和 x2(t) 是两个信号，则相乘后的信号为 x(t) 等于 x1(t) 乘以 x2(t)。

微分

定义

对信号进行微分运算，得到信号的瞬时变化率。微分运算可以突出信号的快速变化部分。

公式

如果 x(t) 是原始信号，则微分后的信号为 x(t) 的导数。

积分

定义

对信号进行积分运算，得到信号的累积值。积分运算可以平滑信号，抑制高频噪声。

公式

如果 x(t) 是原始信号，则积分后的信号为 x(t) 的积分。

一阶差分

定义

计算信号在相邻时间点上的差值，得到信号的变化量。差分运算是离散微分的近似。

公式

如果 x[n] 是离散信号，则一阶差分后的信号为 x[n] 减去 x[n-1]。

信号的自变量变换

时移

定义

对信号的时间轴进行平移操作，使信号整体向前或向后移动。

公式

如果 x(t) 是原始信号，则时移后的信号为 x(t - t0)，其中 t0 是时间平移量。

时间反转

定义

对信号的时间轴进行反转操作，使信号在时间轴上倒过来。

公式

如果 x(t) 是原始信号，则时间反转后的信号为 x(-t)。

时间尺度变换

定义

对信号的时间轴进行拉伸或压缩操作。通过改变时间变量的尺度，改变信号的时间分布。

公式

如果 x(t) 是原始信号，则时间尺度变换后的信号为 x(a*t)，其中 a 是时间尺度因子。

奇信号和偶信号

奇信号

定义

如果一个信号关于原点对称，则称为奇信号。

公式

对于任意时间 t，奇信号满足 x(t) = -x(-t)。

偶信号

定义

如果一个信号关于 y 轴对称，则称为偶信号。

公式

对于任意时间 t，偶信号满足 x(t) = x(-t)。

信号的奇偶分解

定义

任意信号都可以分解为奇信号和偶信号的和。

公式

如果 x(t) 是原始信号，则其奇偶分解为 x(t) = (x(t) + x(-t))/2 + (x(t) - x(-t))/2，其中第一项是偶信号，第二项是奇信号。

奇偶信号的正交性

定义

奇信号和偶信号在内积意义下是正交的。

公式

对于奇信号 x(t) 和偶信号 y(t)，其内积为零，即积分从负无穷到正无穷的 x(t) 乘以 y(t) dt 等于零。

常见的几种信号

连续时间指数信号

表达式

x(t) = A * exp(αt)

单边指数衰减信号

表达式

x(t) = A * exp(-αt) for t >= 0

双边指数衰减信号

表达式

x(t) = A * exp(-α|t|)

正弦信号

表达式

x(t) = A * sin(ωt + φ)

衰减正弦信号

表达式

x(t) = A * exp(-αt) * sin(ωt + φ)

抽样信号

表达式

x(t)=sin(sin(t))/t

指数信号

复指数信号

表达式

x(t) = A * exp((α + jω)t)

纯虚指数信号

表达式

x(t) = A * exp(jωt)

具有谐波关系的复指数信号

表达式

x(t) = A * exp(jnω0t)

一般的复指数信号

表达式

x(t) = A * exp((α + jω)t)

离散的复指数信号

表达式

x[n] = A * exp((α + jω)n)

奇异信号

单位脉冲序列

表达式

δ[n] = 1, n=0; 0, n≠0

性质

在 n = 0 处为 1，其余为 0

单位阶跃序列

表达式

u[n] = 1, n>=0; 0, n<0

性质

u[n] - u[n-1] = δ[n]

u[n] - u[n-N] = 1, 0≤n<N; 0, 其他

Σ δ[n-k] = u[n]

连续奇异信号及其性质

单位阶跃信号

表达式

u(t) = 1 for t >= 0, 0 其他

性质

u(t) = ∫ δ(t) dt

u(t-t1) - u(t-t2) = ∫[t1, t2] δ(t) dt

单位冲激信号

表达式

δ(t) = du(t)/dt

性质

在 t = 0 处具有无限大值，积分为 1

δ(t) = 0, t≠0

∫ δ(t) dt = 1

乘积特性：h(t) δ(t) = h(0) δ(t)

抽样特性：∫ h(t) δ(t) dt = h(0)

延时抽样：∫ h(t) δ(t-τ) dt = h(τ)

卷积特性：h(t) * δ(t) = h(t)

傅里叶变换：δ(t) = 1

u(t) = ∫ δ(t) dt

连续时间系统和离散时间系统

有记忆系统

定义

系统的输出不仅依赖于当前输入，还依赖于过去的输入。

判定方法

系统的输出 y(t) 等于函数 f 作用于 a(T)，其中 T 不等于 t。

无记忆系统

定义

系统的输出仅依赖于当前输入。

判定方法

系统的输出 y(t) 仅等于函数 f 作用于当前输入 a(t)。

可逆系统

定义

对于每一个输出，都存在唯一的输入使其产生。

判定方法

对于每一个输出 y(t)，存在唯一的输入 t 使得系统产生这个输出，即存在唯一的反函数 a^-1(y(t))。

不可逆系统

定义

存在某些输出没有唯一的输入对应。

判定方法

存在某些输出 y(t) 没有唯一的输入 t 对应，即不存在唯一的反函数 a^-1(y(t))。

因果系统

定义

系统的输出仅依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。

判定方法

系统的输出 y(t) 仅依赖于当前和过去的输入 a(t - T)，其中 T 大于等于 0，且不涉及未来的输入。

稳定系统

定义

对于有界输入，系统的输出也是有界的。

判定方法

如果对于任何有界输入 a(t)，其绝对值小于 M（即 |a(t)| < M），系统的输出 y(t) 也是有界的，即 |y(t)| < N。

时不变系统

定义

系统的特性不随时间变化。

判定方法

如果对于任意输入 a(t) 和时间偏移 T，系统的响应满足 y(t - T) = f(a(t - T))，则该系统是时不变的。

第二章线性时不变系统

线性时不变系统的表示方法及其响应的表示方法

用脉冲表示离散时间的信号

离散时间信号响应的表示方法

如果 h[n] 是离散时间 LTI 系统的冲激响应，那么系统的输出 y[n] 对于输入 x[n] 的响应可以表示为卷积：y[n] = x[n] * h[n]

用冲激表示连续时间的信号

连续时间信号的响应表示方法

-线性时不变系统的卷积运算

卷积运算的性质

交换律

分配律

结合律

卷积的微分性质

卷积的积分性质

-时域分析方法

-频域分析方法

第三章周期信号的傅里叶级数表示

傅里叶级数的基本概念

傅里叶级数的定义

傅里叶系数的计算

-周期信号与傅里叶级数的关系

周期信号的频谱表示

周期信号的频谱由其傅里叶级数系数组成，频谱图显示了信号的频率成分及其幅值。

频谱图特点

频谱图上的离散谱线对应傅里叶级数中的每一项谐波成分。

基本频率 ω0 及其整数倍 nω0 对应的谐波在频谱图中显示为离散的频率分量。

-傅里叶级数的系数表示

复数形式的傅里叶级数：

傅里叶级数的应用

周期信号的频谱分析

利用傅里叶级数可以分析周期信号的频谱，确定其主要频率成分及其幅值。

信号频率带宽及频率成分分析

频带宽度：信号的频率范围，表示信号的频谱包含的频率成分范围。

频率成分分析：通过傅里叶级数确定信号包含的各个频率成分及其相应的幅值。

滤波和调制中的应用

滤波：通过滤波器选择性地保留或衰减信号的某些频率成分。

调制：利用傅里叶级数分析信号调制后的频谱变化，设计和实现不同类型的调制方案。

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