二次型及其矩阵思维导图

U629342311

2023-03-18

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二次型矩阵

线性代数

高等数学

线性代数二次型及其矩阵思维导图

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思维导图大纲

二次型及其矩阵表示

二次型

定义：数域P上的一个n元二次其次多项式

表示方法

1.定义式

2.和式

3.矩阵式

4.表格式

线性替换

定义:令X=CY，则称为由X到Y的一个线性替换

分类

非退化线性替换：|C|不等于0

退化线性替换：|C|=0

二次型的矩阵表示

定义：在二次型定义式中令aij=aji（i<j),得到二次型的和式，将和式的系数排成一个n阶矩阵，便得到了二次型的矩阵

性质：A=A的转置（即二次型的矩阵为对称矩阵）

矩阵的合同

定义：如果有数域P上的可逆n阶矩阵C，使得 B=C转置AC,则称矩阵A到矩阵C转置AC的变换为矩阵的一个合同变换

性质

1，自反性

2，对称性

3，传递性

标准形

定义

仅含平方项的二次型（二次型的标准型不唯一）

定义式

d1x1x1+d2x2x2+···+dnxnxn

对应的原二次型

数域上P任一二次型都可以经非退化线性替换变为平方和的形式

对应的矩阵

对角矩阵：除主对角线上元素不为0，其余元素都为0

推广：由一般二次型到标准形的转换，实际上是对称矩阵到对角矩阵的转换（即任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C，使得C转置AC是对角矩阵

唯一性

定义

二次型的规范形是唯一的

分类

复二次型

经非退化线性替换变为规范形

z1z1+z2z2+···=zrzr

复二次型的矩阵合同于一个对角线上只有0，1元素的矩阵

r的个数=矩阵对角线上1的个数=矩阵秩的个数

实二次型

经非退化线性替换变为规范形

z1z1+···+zpzp-zp+1zp+1-···-zrzr

实二次型的矩阵合同于一个对角线上只有1，0，-1的矩阵

规范形中正平方项个数p称为正惯性指数,负平方项个数r-p称为负惯性指数，2p-r称为符号差

实二次型

正定二次型

定义：对任意一组不全为零的实数c1，c2，···cn，都有f（x)>0成立

判定

从二次型进行判定

f（x）=d1x1x1+d2x2x2+···+dnxnxn是正定的当且仅当di全>0

从矩阵进行判定

1.正惯性指数r+=矩阵维数n

2.A合同于单位矩阵E，或A合同于另一正定阵B

3.A的合同标准形主对角元素全大于零

4.存在可逆矩阵C，使得A=CC转置

5.A的顺序主子式全大于0

6.A的特征值全大于0

负定二次型

定义

对于一组不全为零的实数c1，c2，···，cn，都有f(x)<0

半正定二次型

定义

对于一组不全为零的实数c1，c2，···，cn，都有f(x)>或=0

判定

1.正惯性指数与秩相等

2.有实可逆矩阵C，使得CAC转置=一个主对角元全大于零的矩阵

3.有实矩阵C，使得A=CC转置

4.A的所有主子式都大于等于0

注意：仅有A的顺序主子式大于等于0是不能保证半正定性的

半负定二次型

定义

对于一组不全为零的实数c1，c2，···，cn，都有f（x）<或=0

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