因式分解经典练习题的不同解法思维导图

多情又困苦

2023-03-14

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因式分解经典练习题的不同解法

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思维导图大纲

x³-19x+30

从题目中，我们可以看到，这一道因式分解题，最高的次方根是三次方，最低的是一次方，而且仅有两个带方根的函数。这时候，我们开始对数值进行拆分，把19x拆分成10x+9x，这一步是解本题最难的部分，很多人都不容易想到，为什么要这样拆分？

x³-19x+30= x³-9x-10x+30=x（x²-9）-10（x-3）

到这一步之后，我们下一步是要再次找到公因式，我们可以看到（x-3）是公因式，因为（x² -9）可以分解成（x+3）（x-3）。

这一步的重点是，我们要看得到（x-9）是可以分解的。

即x（x²-9）-10（x-3）=x（x-3）（x+3）-10（x-3）=（x-3）（x+3x-10）

到这一步之后，我们就需要对（x+3x-10）进行再次分解，可以采用以下方法：

把x 和10进行拆分：

x -2

x 5

于是得出：x+3x-10=（x-2）（x+5）

这一步计算方法是运用了排列知识，需要一定的口算能力，就是把x 拆成两个x，运用排列知识，进行拆分，对角的数的乘积和等于3x，排列上上，下下对应的数值乘积分别等于x 和10。

所以说，本题解法一的答案就是：x³-19x+30=（x-3）（x-2）（x+5）

重点：

①排列的应用

②拆分、拼数

③找到公因式

解法2、

x³-19x+30

跟解法1相同的是，还是读题，再拆分。不过解法2的拆分跟解法1拆分不同，解法2是拆30这个数。

30我们可以拆成（57-27），为什么这么拆呢？

因为我们需要找到公因式，（x-3）

即：x³-19x+30= x³-27-19x+57=（x³-3³）-19（x-3）

（x³-3³）我们可以进行分解，提取出公因式（x-3）得

（x³-3³）=（x-3）（x+3x+9）

所以（x³-3³）-19（x-3）=（x-3）（x+3x+9）-19（x-3）

=（x-3）（x+3x-10）

剩下的解法就跟解法1一样了，所以得出值：

x³-19x+30=（x-3）（x-2）（x+5）

重点：

①会拆分

②拆分、拼数

③找到公因式

解法1和解法2不同的是，拆分的对象不同，一个拆19x，一个拆30，但是它们的共同点都是找到公因式（x-3）。

解法3、

x³-19x+30

解法3选择拆分的还是30，不过这回拆成38-8。

代入原式得：x³-19x+30= x³-8-19x+38=（x-2）（x²+2x+4）-19（x-2）

=（x-2）（x²+2x-15）

对（x²+2x-15）运用排列知识可得：

把x 和-15拆分：

x -3

x 5

于是得出：x²+2x-15=（x-2）（x+5）

所以解法3的值是：x³-19x+30=（x-3）（x-2）（x+5）

重点：

①会拆分

②拆分、拼数

③找到公因式

解法3不同于前两种解法的是，先找到公因式（x-2），再找到（x-3）。

综上所述，我们可以看到其实因式分解的解法有很多种，就看我们掌握了哪一种而已，唯一不变的是答案，因为答案是唯一的，如果采用了两种不同的解法，得出的答案是不同的，那有一种解法肯定是错的，要么就是两个解法都算错了。

像这类题目的因式分解题，其实可以总结归纳成以下几点：

（1）会拆分

这一点，特别的重要！如果连拆分都不会，不知道从何入手，那你就没有打开这扇门的钥匙；其实这一步有一定的技巧，比如说我们看到的是一个三次方的函数，那我们就要考虑凑三次方的数值，从1开始找，一般找到5的三次方就找到最小的公因值了，所以这一步我们没头绪的话，试试拆分后面的数，让数值变成1-5的三次方根就可以。

（2）会提取公因值

我们会拆分，找到同等的次方根后，要学会找到公因式，并提取合并，这一步需要运用到排列的一些知识，口算还是比较困难的，所以就要求我们对排列知识要掌握才行。

（3）会核对

这一步前面也提到过了，我们算出来的值，一定要记得核对，对于公因式来说，我们只需要把括号都打开，在化简求值，跟原式进行对比，如果一样说明你求解就是正确的，如果不一致，那就是作答错误，需要重新作答。

因式的解答，看似简单，其实包含了很多的内容，需要大家多练习习题才行，不能光看书，死记硬背有时候也行不通，练习多了，自然很多知识点就掌握了，孰能生巧。

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