插空法的解题思路是"先排后插"。具体做题步骤如下:首先不考虑特殊主体,先排列其他主体;其次再把要求不相邻的特殊元素插入到其他元素所形成的数空里面。其中需要注意的是题干中"首位"是否可以插空;若无特殊说明则不相邻元素可以插在其他元素的首尾位置,否则首尾不可以插空。
举一个简单的例子说明一下此题的解题方法:某学校A、B、C、D、E共5人排队做课间操,其中A、B两人不排在一起,则一共有多少种排队方式?
根据"A、B两人不排在一起"可知此题考查插空法,故首先先排列其他3人C、D、E,共有排队方式,其次排好C、D、E后形成4个数空,再从4个数空中选出2个插入不相邻的两人A、B,则可满足A、B两人不排在一起,共有(种)排队方式,故一共有(种)排队方式。(值得注意的是,此题没有特殊说明,故C、D、E首尾都可以插空,则形成了4个数空,若题目说明A、B两人不能排在首尾,意味着C、D、E首位不能插空,则只能形成2个元素间数空。)
最后,以几道例题来给大家展示下这类题目的完整做题过程。
【例1】(2015年国考)把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧,每侧种植9棵,要求每侧的柏树数量相等且不相邻,且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?
【分析】分析题干,题目要求"每侧的柏树数量相等且不相邻"即每侧柏树要不相邻,解决不相邻问题我们采用插空法。因为题目要求每侧9棵树且柏树数量相同,也就是说18 棵树分成道路两边进行植树,每侧种植6颗松树与3颗柏树。题目还要求柏树不相邻,不相邻采用插空法。先将6颗松树种植好,因为松树是同样的,故有种方式;再将相邻的柏树插入已经种植好的松树中去,6 颗松树之间形成7个空,而题目又要求道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树,即道路两端不能插入柏树,故6颗松树之间形成 5 个空,有种方式。 同理可得,道路另一侧也有 种方式。故正确答案为=100种方式。