法院审理认为，刘某与该劳务中心签订的劳动合同虽然于2008年12月19日期满，但之后，刘某仍按原劳动合同的规定向用工单位某餐饮公司提供劳动，所以，刘某与该劳务中心在劳动合同期满后形成的是事实劳动关系。
该劳务中心作为用人单位，应该对双方劳动关系取消的原因承担举证责任。但是，该中心没有拿出有效的证据予以证明。因此，虽然该劳务中心发出的告知书内容为终止双方的劳动关系，但其性质实际是该中心单方解除与刘某的事实劳动关系，因此该中心应该向刘某支付相应的解除事实劳动关系的经济补偿金，但该中心没有支付该补偿金，已经违反了法律规定。
根据《劳动合同法》第四十条规定，劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的情形下，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。
本案中，该劳务中心没有提前三十日以书面形式通知刘某或额外支付刘某一个月工资后即以张贴告知书的方式单方解除了双方的事实劳动关系，且该劳务中心没能提交充分有效的证据证明该中心因即将办理注销手续，曾与刘某进行协商。因此，该劳务中心的行为违反了上述法律规定，该中心应依照《劳动合同法》第四十七条规定的经济补偿标准的两倍向刘某支付赔偿金。
综合以上所述，法院依据《劳动合同法》第四十六条、第四十七条、第八十七条规定，判决北京某劳务中心给付刘某解除事实劳动关系的赔偿金5300元。
