矩阵论思维导图

U622882698

2023-01-06

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线性空间与线性变换

矩阵分析及其应用

特征值估计

范式理论及其应用

矩阵分解

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思维导图大纲

线性空间与线性变换

线性空间

线性空间定义

线性组合

线性子空间

值域和零空间

子空间的交与和

矩阵表示

线性变换运算与矩阵关系

矩阵多项式

坐标变换，同一线性变换不同基下矩阵关系

Jordan标准型

特殊线性空间

欧式空间

定义与性质

范数：在欧氏空间中，非负实数为向量a的长度

正交性

正交变换与正交矩阵

对称变换与对称矩阵

酉空间

定义

共轭转置

正规矩阵

范式理论及其应用

向量范式及其性质

定义，三个条件：非负性、齐次性、三角不等式

1-范式

2-范式

∞-范式

p-范式

加权范式/椭圆范式

性质——等价性

矩阵范式

定义与性质

广义矩阵范式三个条件：非负性、齐次性、三角不等式。如果还满足相容性，则为矩阵范式。

如果Ax的v范式小于等于A的m范式与x的v范式之积，则称矩阵范式m与向量范式v是相容的

常用的矩阵范式

从属范式：由向量范式导出的矩阵范式称为矩阵的从属范式。

列和范式、谱范式和行和范式

范式的应用

矩阵非奇异条件

近似矩阵的误差

谱半径及其性质

谱半径为矩阵的最大特征值

谱半径为矩阵范式的最小值

矩阵分析及其应用

矩阵序列

{A(k)}收敛/发散/有界——>矩阵A收敛

矩阵级数

矩阵序列的无穷和S(N）为矩阵级数。

幂级数

矩阵函数

定义与性质

当n阶矩阵A的谱半径小于幂级数的收敛半径r时，则将矩阵幂级数成为矩阵函数。

e^iA、cosA、sinA、cos(-A)、sin(-A)

矩阵函数值的求法

待定系数法

数项级数求和法

对角形法

Jordan标准型法

矩阵函数的微分与积分

导数与微分

dA/dt=(daij/dt)m*n

函数对矩阵的导数：df/dX=函数对矩阵每个元素的偏导数

函数矩阵对矩阵的导数：dF/dX=函数矩阵中每个函数对对矩阵每个元素的偏导数的复合

矩阵函数应用

一阶线性常系数齐次微分方程组

基础解系/通解

一阶线性常系数非齐次微分方程组

特征值估计

特征值的界

定理5.1

定理5.2

行严格对角占优以及列严格对角占优

定理5.3

定理5.4

定理5.5

特征值的包含区域

Gerschgorin圆（盖尔圆）

矩阵A的第i个盖尔圆的半径Ri=矩阵A的所有元素的模的和

矩阵A的特征值在A的所有盖尔圆的并集之内

矩阵A的k个盖尔圆形成的连通部分中有且仅有A的k个特征值。

扰动理论中的特征值估计

广义特征值问题 Ax=特征值Bx

等价形式

将广义特征值问题等价为B^-1A的普通特征值问题

将广义特征值问题等价为对称矩阵S的普通特征值问题

特征向量的正交性

对阵矩阵特征值的极性

实对称矩阵的Rayleigh商的极性

矩阵A的Rayleigh商R(x)是连续函数、零次齐次函数

若A为对称矩阵，则其R(x)的最小值为特征值X1，最大值为特征值Xn。

Courant-Fischer定理：若矩阵A的特征值按升序排列，则A的第k个特征值=minmax{x^TAx}

广义特征值的极小极大原理

A,B为n阶实对称矩阵，且B正定，则称R(x)=x^TAx/x^TBx为A相对于B的R商。

设Vk为R中的任意k维子空间，则广义特征值问题的第k个特征值和第n-k+1个特征值具有极大极小性质。第k个特征值=min[maxR(x)],第n-k+1个特征值=max[minR(x)]

矩阵的直积及其应用

矩阵分解

矩阵三角分解（LU分解）

如果矩阵A可以分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，则称矩阵A可作三角分解（LU分解）。如果矩阵A除两个三角矩阵外，还可以分解出对角矩阵D，则称A可作LDU分解。

存在性与唯一性

三角分解算法

矩阵QR分解

Givens变换与Householder变换

Givens矩阵与变换

Givens矩阵Tij=Tij（c，s），c^2+s^2=1。由Givens矩阵确定的变换为Givens变换。

Givens矩阵是正交矩阵

Householder矩阵和变换

Householder矩阵：H=I-2u*u^T。由该矩阵确定的比那换为Householder变换

对称矩阵、正交矩阵、对合矩阵、自逆矩阵。det（H）=-1。

Givens变换是两个初等反射变换（Householder变换）的乘积

QR分解（正交三角分解）

非奇异矩阵A能过够分解成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称式为A的QR分解。

若A为非奇异矩阵，则存在QR分解，且除去一个对角矩阵因子外，分解式式唯一的

A为m*n矩阵，且n个列线性无关，则存在分解式A=QR。

任意n阶非奇异矩阵A，可通过左连乘初等旋转矩阵转化为非奇异上三角矩阵

任意非奇异矩阵A，可通过左连乘Householder矩阵转化为非奇异上三角矩阵

Gram-Schmidt正交化

矩阵满秩分解

A=FG，其中Fm×r （列满秩）和Gr×n（行满秩）

满秩分解计算

初等行变换方法

Hermite标准型

奇异值分解

服装概论面向岗位思维导图

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4.85

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