张宇30讲-线代（6讲）思维导图

U386339097

2024-12-25

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标准正交向量组

阶向量方阵

极大线性无关组

线代知识点详述

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思维导图大纲

第一讲行列式的定义与性质

第一种定义（几何）

2列行列式是由2个二维向量组成的，其结果为两个向量为领边的平行四边形的面积

3阶行列式是由三个3维向量组成的，其结果为三个向量的平行六面体的体积

n阶行列式是由n个n维向量组成的，其结果为n维图形的体积

性质

行列互换，其值不变，但符号改变

若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

若行列式中某行（列）元素有公因子k(k不等于0)，则可以提到行列式外面，【倍乘】

行列式中某行（列）元素均是两个数之和，可以拆成两个行列式之和（其他行（列）不变）

行列式的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变【倍加】

第二种定义（逆序数）

排列、逆序、逆序数（逆序的总数）、奇排列（逆序数为奇数）、偶排列（逆序数为偶数）

1阶行列式

注意在计算正负时，下标行需要按顺序排，然后计算逆序数（奇为负偶为正）

第三种定义（余子式、降阶）

在n阶行列式中，去掉元素a_ij所在行与列后，剩下的组成n-1阶行列式称为a_ij的余子式

行列式等于行列式的某一行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，

几个重要行列式

主对角线行列式（上下三角）

上三角

下三角

主对角线

副对角线行列式

上三角

下三角

副对角线

拉普拉斯展开式（分块矩阵）

A为m阶矩阵，B为n阶矩阵

范德蒙德行列式

具体型行列式的计算

利用性质1-7

逆序数法

展开公式

性质

利用倍加倍乘等性质化繁为简

基本型1-12个

找差别不大的行

找规律

归纳法/递推法

1、化为基本型；2、递推法；行列式表示函数方程

抽象型行列式的计算

通过性质1-7

使用公式

余子式和代数余子式的线性组合

注意Mij需转换成Aij

克拉默法则

前提n个方程，n个未知数

D为系数行列式，Di为常数项替换i列元素而得的行列式

非齐次方程

齐次方程

第二讲矩阵

定义

由m*n个数排列成的矩形表格

基本运算

相等

行数列数相等，且对应元素相等

加法

两个矩阵是同型矩阵，可以相加，对应元素相加

数乘矩阵

矩阵每一个元素乘以某一数k

运算规律

交换律

结合律

分配律

数和矩阵相乘的结合律

矩阵的乘法

前提：前一矩阵列数必须与后一矩阵的行数相等

运算规律

结合律

分配律

数乘与矩阵乘积的结合率

不满足交换律

注意平方和差公式也无法使用

转置矩阵

将矩阵行与列互换

转置矩阵满足

方阵的幂

方阵的行列式|A|

重要矩阵

零矩阵

单位矩阵E

数量矩阵

上下三角矩阵

左上、左下、右上、右下三角矩阵

对称矩阵

反对称矩阵

行矩阵、行向量

列矩阵、列向量

分块矩阵

使用纵线和行线将一个矩阵分成若干块（子块），并看作是原矩阵的一个元素

基本运算

加法（同型，分法一致）

数乘

乘法

分块相乘后左仍在左，右还在右

分块对角矩阵的幂

矩阵的逆

AB=BA=E

A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵

逆矩阵唯一，记

性质与重要公式

求可逆矩阵的逆矩阵

定义法

乘积法

将A分解成若干个可逆矩阵的乘积

伴随矩阵

将代数余子式按行列对应转换排列

因为使代数余子式，注意元素的正负号

总结对比

穿脱原则

复合

数乘

互换

和

伴随矩阵求可逆矩阵

求伴随矩阵

定义

算每一个代数余子式

公式

A可逆，

初等变换与初等矩阵

初等变换

倍乘

一个非零常数乘矩阵的某一行（列）

互换

互换矩阵中某两行（列）的位置

倍加

将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵

E的第i行（列）乘以k呗

E的i行（列）j行（列）互换

E的第j行（列）的k倍加到第i行（列）

初等矩阵的性质和重要公式

初等矩阵的转置仍是初等矩阵

初等矩阵都是可逆矩阵，且逆矩阵仍是同一类型

若矩阵可逆，则可以用有限个初等矩阵乘积表示

对某一矩阵进行初等行（列）变换，相当于对其乘相应的初等矩阵，但注意，左乘是行变换，右乘是列变换

行阶梯形矩阵与行最简阶梯形

行阶梯形矩阵

若由零行（元素全为零的行），则零行全在非零行下方；

各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大

行最简阶梯形

台角位置为1，上方元素为1

单位矩阵是最标准的行最简阶梯形

用初等变换求逆矩阵

简单分块矩阵的逆

矩阵方程

含有未知矩阵的方程

使方程化为

等价矩阵和矩阵的等价标准形

等价标准形

形如

矩阵的秩

定义

k阶子式

任取k行k列（可不连续）的k阶行列式

若k阶子式不为零，k+1阶子式全为零

矩阵化为等价标准形后单位矩阵的阶数

求法

将某一矩阵用初等行变换化为行阶梯矩阵，其非零行数变为矩阵的秩

重要式子

第三讲向量组

向量与向量的线性相关性

向量定义

向量：矩阵的若干行（列）

其中第i个数ai成为向量的第i个分量

向量地运算

相等

当且仅当ai=bi,即对应元素全相等

加法

数乘

向量的内积与正交

内积

正交

在二维向量时可以称作垂直

模

模为1称为单位向量

标准正交向量组

列向量组

又称规范正交基，标准正交基，规范正交向量组

正交矩阵

A为n阶向量方阵

满足

线性表示

线性组合

m个n维向量，m个数

线性表示

存在m个数，使

线性相关

存在一组不全为零的数使

含有零向量或有成比例的向量的向量组必线性相关

线性无关

不存在一组不全为零的数使

亦即只有当

单个非零向量，两个不成比例的向量均线性无关

判别的七大定理

定理一

向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的n-1个向量线性表示

向量组线性无关的充要条件是向量组中任一个向量不能由其余的n-1个向量线性表示

定理二

向量组线性无关，加一个向量后线性相关，则新加的向量可有线性无关的向量组表示，且表示法唯一

定理三

如果向量组（t个）可由向量组（s个）线性表示，且t>s则向量组（t个）线性相关（以少表多，多的相关）

如果向量组（t个）可由向量组（s个）线性表示，且向量组（t个）线性无关，则

定理四

设m个n维向量其中

向量组线性相关

齐次线性方程组

向量组线性无关

充分必要条件是齐次线性方程组只有零解

定理五

向量可由向量组线性表示

向量不能由向量组线性表示

定理六

如果向量组中一部分线性相关，则整个向量组也线性相关

如果向量组线性无关，则其任一部分向量组都线性无关

定理七

如果一组向量组线性无关，那么把这些向量各任意添加到m个分量所得到的新向量（n+m维）也是线性无关

如果一组向量组线性相关，那么他们去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的

极大线性无关组

在向量组中存在部分向量组

该部分向量组无关

原向量组中任一向量均可由该部分向量线性表示

极大无关向量组一般不唯一只有一个零向量组成的向量组不存在极大无关向量组一个极大无关向量组的极大无关向量组是自身

等价向量组

两个向量组

向量(I)中向量均可由向量(II)线性表示，则称向量组可由向量(II)线性表示

向量(I)和向量(II)可以互相线性表示，则向量组(I)(II)是等价向量组

等价向量组满足

等价矩阵和等价向量组

矩阵等价要同型，向量组等价要同维（向量个数可以不等）

A，B同型

向量组的秩

向量组中极大无关向量组中向量的个数

可以理解为张成空间的维数

重要定理和公式

三秩相等

r(A)(矩阵的秩)=A的行秩（A的行向量组的秩）=A的列秩（A的列向量的秩）

A的行向量组和B的行向量组是等价向量组

A和B的的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性

向量组(I)均可由向量组(II)线性表示

A是n阶方阵

向量空间

概念

线性无关的有序向量组

任一向量a都可由向量组表示

基

基变换、坐标变换

基变换公式

C为

第四讲线性方程组

齐次线性方程组

系数矩阵，增广矩阵

等式右边均等于0

有解条件

系数向量组线性无关

齐次方程组有唯一零解

系数向量组线性相关

非齐次方程组有非零解（无穷多解）

且有n-r(A)个线性无关解

n是未知数个数，r(A)是真实约束个数

解的性质

基础解系和解的结构

基础解系

解系内向量是方程组Ax=0的解

各向量线性无关

方程组的任一解均可由解系向量线性表示

S=n-r(A)

求解的方法与步骤

化系数矩阵为行阶梯矩阵，并记r(A)=r

按列找出秩为r的子矩阵，剩余位置设为自由变量

按基础解系求出向量组，并写出解析

非齐次线性方程组

等式右边均有数

有解条件

b不能由A中向量组线性表示

方程组无解

A中向量组线性无关，[A,b]线性相关

方程组有唯一解

方程组有无穷解

解的性质

齐次通解+非齐次特解

求解方法与步骤

写出对应齐次方程组，并求出齐次方程组通解

求出非齐次方程组的一个特解

非齐次的通解等于齐次方程通解加非齐次方程组的一个特解

两个方程组的公共解

齐次方程组

满足方程组

同理可求两个方程组的公共解

同解方程组

两个方程组A(m*n)和B(s*n)有完全相同的解

Ax=0的解满足Bx=0,且Bx=0的解满足Ax=0

r(A)=r(B),且Ax=0的解满足Bx=0（或Bx=0的解满足Ax=0）

三秩相同

第五讲特征值与特征向量

特征值与特征向量的定义

A是n阶矩阵

是矩阵A的特征值

是A对应特征值的特征向量(非零)

特征值与特征向量的求法

有非零解

求解具体型的特征值和特征向量，一般是使用特征方程求出特征向量，带入特征向量解齐次线性方程组，求出特征向量

特征值与特征向量的性质与重要结论

特征值的性质与重要结论

若

tr(A)=

特征向量的性质与重要结论

重要结论

k重特征值至多只有k个线性无关的特征向量

常用矩阵的特征值与特征向量

矩阵的相似

定义

设A、B是两个n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P

相似矩阵的性质

A,B的各阶主子式之和分别相等

重要结论

两个矩阵是否相似的判别与证明

定义法

存在P，

传递性

性质(必要条件)

矩阵的相似对角化

定义

矩阵可相似对角化的条件

求可逆矩阵P

求A的特征值

求A特征值对应的线性无关的特征向量

有特征值、特征向量反求A

求

实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵的性质

则A为对称矩阵，元素为实数即为实对称矩阵

A是实对称矩阵，则A的特征值是实数，特征向量是实向量

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量互相正交

对任意的n阶实对称阵A，存在n阶正交矩阵Q

实对称矩阵相似对角化的基本步骤

求A的特征值

求A的对应特征值的特征向量

将特征向量正交化、单位化为

施密特正交化

第六讲二次型

二次型的定义与矩阵表示

n元变量的二次齐次多项式

完全展开式

合式

二次矩阵A是一个对称矩阵

合同变换，二次型的合同标准形、规范形

线性变换的定义

x=Cy,C可逆称为可逆线性变化

合同变换

矩阵合同的定义与性质

定义

A，B为n阶矩阵，存在可逆矩阵C

性质

反身性

对称性

传递性性

结论

r(A)=r(B)

可逆线性变换不会改变二次型的秩

对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵

标准形

多项式只有平方项，没有交叉项

一般不唯一

规范形

标准形中系数

定理

任何实对称矩阵A，必存在可逆矩阵C，使得

任何实对陈矩阵A，一定存在正交矩阵使得

惯性定理

合同变换下的不变量是正、负惯性指数

二次型化成标准型或规范型

正项个数（正惯性指数p）

负项个数（负惯性指数q）

两个二次型合同的充要条件

相同的正、负惯性指数

有相同的秩及正（或负）惯性指数

相同的正、负特征值个数

化二次型

配方法

将某一变量的平方项及与其有关的混合项一次配完

没有平方时，采用换元法创造平方，然后进行配方

正交变换

加头

写出A

求A的特征值与特征向量

将特征向量正交化、单位化，

加尾

正定二次型

定义

n元二次型

若任意的

充要条件

n元二次型f正定

顺序主子式可以理解为矩阵的左上角

必要条件

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