一元二次方程求根公式和常见解法思维导图

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2023-04-24

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一元二次方程求根公式和常见解法

一元二次方程

求根

公式

只含有一个未知数(一元)，并且这个未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。

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思维导图大纲

一元二次方程求根公式和常见解法

一、一元二次方程的概述

1、定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程.

2、求根公式：x=?b±b2?4ac√2a(b2?4ac≥0)x=?b±b2?4ac2a(b2?4ac≥0)。

3、一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2ax2是二次项，aa 是二次项系数;bxbx 是一次项，bb 是一次项系数;cc 是常数项.

4、一元二次方程的根：

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

5、一元二次方程的常见解法：

(1)直接开平方法

(2)配方法

(3)公式法

(4)因式分解法

(5)利用根与系数的关系

二、一元二次方程的例题

例：如果方程(m?2–√)xm2+3mx?1=0(m?2)xm2+3mx?1=0 是关于__ 的一元二次方程，那么 mm 的值是____.

答案：?2–√?2

解析：由一元二次方程的定义知 m2=2m2=2，即 m=±2–√m=±2，又 ∵m?2–√≠0，∴m≠2–√，∴m=?2–√∵m?2≠0，∴m≠2，∴m=?2.

一元二次方程判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=b?-4ac)可以判断方程的根的情况。

一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：△=b?-4ac

①当△>0时，方程有两个不相等的实数根;

②当△=0时，方程有两个相等的实数根;

③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

上述结论反过来也成立。

一元二次方程解法

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m .

2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

一元二次方程求根公式推导过程

一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c(一元二次方程的基本形式)推导根公式的详细过程如下，

1、ax^2+bx+c=0(a≠0,^2表示平方)，等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0，

2、移项得x^2+bx/a=-c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2，

3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2-c/a，即(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a，

4、开根后得x+b/2a=±[√(b^2-4ac)]/2a (√表示根号)，最终可得x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a

一元二次方程顶点坐标

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