高考数学指导：四方面分析谋划“过桥策略”思维导图

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2023-04-20

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思维导图大纲

四方面分析为考生谋划"过桥策略"

数列一章，在中学数学中地位非常重要，它是衔接初等数学和高等数学的桥梁，是高考每年必考的重要内容。内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等；它渗透了分类讨论和类比、归纳等重要的数学思想。本文结合近几年高考数学题，从四个方面对数列进行分析，希望能对本届考生数列复习提供参考。

关于函数思想

数列可看作特殊的函数，在复习中，处理有些数列问题要渗透函数观点，但注意它们的区别。

例1：数列{an}中，an=n2+n为单调递增数列，求的取值范围。

解答：可仿照研究函数单调性的思想，利用an+1＞an对n∈N恒成立，可求出＞-3

例2：已知数列{an}为等差数列，a1＞0，S9=S17，n=?，Sn最大，最大为多少？

解答：借助二次函数，由已知a1＞0，S9=S17，公差显然小于0，则点(n,Sn)所对应的函数图象为开口向下的抛物线，利用二次函数知识，n=13，Sn取得最大值，最大值169/25a1

基本量问题

在等差(比)数列中，常会在首项a1，第n项an，项数n，公差(比)d(q)，前n项和Sn之间，给出一些已知条件，从而得出这五个量之间的某些关系，连同数列的通项公式及前n项和公式，可以求出其他的一些量，对于这种解题的方法应能做到熟练掌握，但在具体解决的过程中，选择合适的公式和处理技巧也非常重要。

例3：已知等比数列{an}， a3=1 1/2，S3＝4 1/2，求a1与公比q。

分析：如果用通项及求和公式(对q分q=1和q≠1讨论)，显得繁琐；但如果采用方程组a1q2=1 1/2 a1+a1q+a1q2=4 1/2，或a3/q2+a3/q+a3=4 1/2比较方便，解得a1=1 1/2，q=1或a1=6，q=-1/2

数列中的运算

已知数列{an}和{bn}都是等比数列，那么{an·bn｝，｛an3｝，｛1/bn｝等均成等比数列，但{an+bn｝不一定成等比数列，只有当这两个数列的公比相等，并且a1+b1≠0，对应的和数列才成等比数列。

类比：例4:已知数列{an}和{bn}都是等差数列，那么{an+bn｝，{kan｝，{pan+qbn}等均成等差数列，但{an·bn｝不一定成等差数列，我们可以研究两个等差数列的和数列仍为等差数列的条件。

解答：可从特殊入手，不妨设等差数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2， {an·bn｝的前三项依次为a1b1,(a1+d1)(b1+d2),(a1+2d1)(b1+2d2)，由已知，它们成等差数列，即2(a1+d1)(b1+d2)=a1b1+(a1+2d1)(b1+2d2)，得d1·d2=0，即等差数列{an}和{bn}至少有一个是常数列，当数列{an}和{bn}有一个是常数列，即形如{kan｝，显然它是等差数列。从上述过程中，我们知道，如果两个等差数列均不是常数列，则其积数列一定不构成等差数列。

研究性学习

近几年在高考试卷中出现一些研究性问题，如数列的"基本量"问题，等和与等积数列，绝对差数列，对称数列等问题。同学们在解决此类问题时，要从题目给出的语言情景入手，紧扣定义，循序渐进地解决问题。

例5:若有穷数列a1,a2…an(n是正整数)，满足a1=an,a2=an-1…an=a1即a1=an-i+1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为"对称数列"。

(3)对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1,2,22…2m-1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008。

命题人出题的用意，要求学生在"对称数列"的背景之下，结合等差和等比数列，解决有关问题，第三问实际上是个分段数列求其前n项和Sn的问题，渗透了分类讨论的数学思想，但此问高考得分率不够理想，反映学生在处理新问题的能力有待提高。

事实上，在数列的复习中，既要重视公式的应用，还要注意计算的合理性。在处理某些数列问题时，要渗透函数观点，借助函数思想帮助解决；同时要注意新情景下的数列问题研究，有意识建立与等差数列、等比数列的联系，探讨通项和求和问题；数学思想如分类思想、特殊化思想等在数列中的考查，也是同学们在复习中必须重视的问题。

上大附中高级教师王宝玉

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