高考数学复习：探寻快速解法争取更高分数思维导图

微风不燥

2023-04-20

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思维导图大纲

一、特殊结论速解

教材第五章《平面向量》部分有一例题，可推广为重要结论："若非零向量-、- 不共线，且-=-+-(，R)，则A、B、P三点共线的充要条件是：＋＝1"

例1：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足-=-＋-，其中，且＋＝1,则C点轨迹为 ( )

A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2＝5

C.2x-y=0 D.x+2y-5=0

分析：若用一般方法是-=(3-，＋3)，设点C(x,y)，则由x=3-且y=＋3,得=-且=-代入＋=1得x+2y-5=0

若利用上述结论，可知点A、B、C三点共线，所以点C的轨迹为直线AB,KAB=--,所以选D。

例2：已知等差数列a- 的前n项和为 Sn，若-=a1-+a200-，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )

A.100 B.101 C.200 D.201

二、极限思想妙解

用极限思想有时可帮助我们解决某些范围问题，近似计算问题。对一些直接求解比较困难的试题，利用极限的思想来解决它，从而达到简化难度的作用。

例3：正三棱锥V_ABC,底面边长2a，E、F、H、G为边AV、VB、AC、BC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是( )

A.(0,+∞) B.(-a2,+∞)

C.(-a2, +∞) D.(-a2,+∞)

分析：易知四边形EFGH是矩形，S=EF·FG=-AB·■VC=-a·VC，

由于四边形面积的大小取决于VC的长度,正三棱锥顶点V→底面ABC中心时,

VC→-a,得S→-a2；正三棱锥顶点V→∞(向上)时,VC→+∞, S→+∞，故选B。

例4：函数y=-xcosx的部分图象是()

分析：由f(-x)=xcos(-x)=xcosx=-f(x)排除A,C。当x→0＋时，cosx→1,y→-x＜0故选D

三、特殊化方法速解

特殊化方法是一种重要的解题方法，解题时化一般为特殊，用特殊位置或特殊图形探求出待求结果，从而寻求解题思路或达到解题目的。

例5：已知aR，函数f(x)=sinx-a(xR)是奇函数，则a=( )

A. 0 B.1 C.-1 D.±1

分析：考虑特殊位置，∵xR，∴f(x)在原点有定义，即f(0)=0∴sin0-a=0故选A

例6：过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF和FQ的长分别为p,q,则-+-=( )

A.2a B.-

C. 4a D.-

分析：如图，把方程y=ax2化为抛物线的标准方程x2=-y，则焦点为F(0,-)，焦点弦PQ在变动，所以PF,PQ的长p,q也在变，但在p,q的变化过程中，待求式-+-的结果不变，从而可取PQ平行于x轴时的特殊位置，易求得-+-=4a,故选C。

四、估算法巧解

《高考考试说明》要求考察精确计算，近似计算及估算能力。估算法解题常

例7：过坐标原点且与圆x2+y2-4x+2y+-=0相切的直线方程为( )

A.y=-3x或y=-x

B. y=3x或y=--x

C. y=-3x或y=--x

D. y=3x或y=-x

分析：圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=-2，如图可知斜率k一正一负，排除C,D。看图估计k为正数时小于1，故选A。

例8：已知三点A(2,3)B(-1,-1)C(6,k)其中k为常数，若-=-则-与-的夹角为( )

A.arccos(--) B.-或arccos-

C. arccos- D. -或-arccos-

分析：由-=-，以点A(2,3)为圆心，-为半径的圆与直线x=6的两个交点C1，C2都是满足题设的点C，可见有两解。故排除A,C. 如图∠BAC2=-,而-与-的夹角为钝角，故选D。

数学如何解决问题？思维导图

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