引入:我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。实际上,利用公理及其推导出的定理,我们能够证明勾股定理。
定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,
延长CB至点D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED、AE,则△ABC≌△BED。
∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等)。
∴S梯形ACDE=(a+b)(a-b)=(a+b)2
∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°-90°=90°
∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,
∴(a+b)2=c2+ab+ab即a2+ab+b2=c2+ab+ab
反过来,在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出"这个三角形是直角三角形"的结论,你能证明这个结论吗?
已知:如图,在△ABC,AB2+AC2=BC2,求证:△ABC是直角三角形。
证明:作出Rt△A’B’C’,使∠A=90°,A’B’=AB,A’C’=AC,则
∵AB2+AC2=BC2,A’B’=AB,A’C’=AC,
定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为另一个命题的互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理。这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。