职高高一数学教案直线方程思维导图

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2023-04-04

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职高高一数学教案直线方程

直线方程

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教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，对教学内容、教学步骤进行安排。

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思维导图大纲

职高高一数学教案直线方程1

直线的点斜式方程

¤知识要点：

1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为y?y0?k(x?x0). 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为y?kx?b.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x?x0?0，或x?x0. 4. 注意：

y?y0

?k与y?y0?k(x?x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点x?x0

P0(x0,y0)，后者才是整条直线.

¤例题精讲：

【例1】写出下列点斜式直线方程：

(1)经过点A(2,5)，斜率是4; (2)经过点B(3,?1)，倾斜角是30.

【例2】已知直线y?kx?3k?1.(1)求直线恒经过的定点;(2)当?3?x?3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.

【例3】光线从点A(-3，4)发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B(-2，6)，求射入y轴后的反射线的方程.

点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l经过点P(?5,?4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程.

点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

¤知识要点：

1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为

y?y1x?x1

www.unjs.com?， y2?y1x2?x1

2. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为?

xay

?1. b

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线;截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

4. 线段P1P2中点坐标公式(¤例题精讲：

【例1】已知△ABC顶点为A(2,8),B(?4,0),C(6,0)，求过点B且

将△ABC面积平分的直线方程.

【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程

直线的一般式方程

¤知识要点：

1. 一般式：Ax?By?C?0，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程

Ax?By?C?0(B?0)化为斜截式方程y??

x1?x2y1?y2

,). 22

AAC

x?，表示斜率为?，y轴上截距

BBB

为?

的直线. B

2 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线，可设所求方程为Ax?By?C'?0;与直

线Ax?By?C?0垂直的直线，可设所求方程为Bx?Ay?C'?0. 过点P(x0,y0)的直线可写为A(x?x0)?B(y?y0)?0.

经过点M0，且平行于直线l的直线方程是A(x?x0)?B(y?y0)?0; 经过点M0，且垂直于直线l的直线方程是B(x?x0)?A(y?y0)?0.

3. 已知直线l1,l2的方程分别是：l1:A1x?B1y?C1?0(A1,B1不同时为0)，l2:A?C?0(A2,B2不同时为0)，则两条直线的位置关系可以如下判别： 2x?2By2

(1)l1?l2?A1A2?B1B2?0; (2)l1//l2?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0; (3)l1与l2重合?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0; (4)l1与l2相交?A1B2?A2B1?0.

如果A2B2C2?0时，则l1//l2?相交?

A1B1

. A2B2

A1B1C1ABC??;l1与l2重合?1?1?1;l1与l2A2B2C2A2B2C2

¤例题精讲：

【例1】已知直线l1：x?my?2m?2?0，l2：mx?y?1?m?0，问m为何值时：(1)l1?l2;(2)l1//l2.

【例2】(1)求经过点A(3,2)且与直线4x?y?2?0平行的直线方程;(2)求经过点B(3,0)且与直线2x?y?5?0垂直的直线方程.

【例3】已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求与直线l平行且过点(-1，3)的直线的方程.

点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式A(x?x0)?B(y?y0)?0而直接写出方程，即3(x?1)?4(y?3)?0，再化简而得.

两条直线的交点坐标

¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组

?A1x?B1y?C1?0

. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标;?

Ax?By?C?0?222

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行;若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程?(A1x?B1y?C1)?(A2x?B2y?C2)?0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l1: nx?y?n?1, l2: ny?x?2n.

【例2】求经过两条直线2x?y?8?0和x?2y?1?0的交点，且平行于直线4x?3y?7?0的直线方程.

两点间的距离

两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则两点间的距离为：

特别地，当P1,P2所在直线与x轴平行时，|PP1,P2所在直线与y轴12|?|x1?x2|

;当P

平行时，|PP1,P2在直线y?kx?b上时，|PP12|?|y1?y2|;当P12|?x1?x2|. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：(1)建立坐标系，用坐标表示有关量;(2)进行有关代数运算;(3)把代数运算的结果"翻译"成几何关系.

¤例题精讲：

【例1】在直线2x?y?0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，并求直线PM的方程.

【例2】直线2x-y-4=0上有一点P，求它与两定点A(4，-1)，B(3，4)的距离之差的最大值.

【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

点到直线的距离及两平行线距离

¤知识要点：1. 点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离公式为

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线l1:Ax?By?C1?0，

l2:Ax?By?C2?0之间的距离公式d?

，推导过程为：在直线l2上任取一

y?C0，即A

xy??C点P(x0,y0)，则Ax0?B02?

0?B02. 这时点P(x0,y0)到直线l1:Ax?By?C1?0的距离为d?

¤例题精讲：

【例1】求过直线l1:y??x?

1310

和l2:3x?y?0的交点并且与原点相距为1的直线3

l的方程.

【例2】在函数y?4x2的图象上求一点P，使P到直线y?4x?5的`距离最短，并求这个最短的距离.

圆的标准方程

¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)表示圆心为A(a，b)，半径长为r的圆.

2. 求圆的标准方程的常用方法：(1)几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程;

(2)待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程. ¤例题精讲：【例1】过点A(1,?1)、B(?1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ). A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 【例2】求下列各圆的方程： (1)过点A(?2,0)，圆心在(3,?2);(2)圆心在直线2x?y?7?0上的圆C与y轴交于两点A(0,?4),B(0,?2)

圆的一般方程

¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 (D2?E2?4F?0)表示圆心是(?,?

)D2

. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标(x,y)满足的关系式.

¤例题精讲：

【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的方程.

【例2】设方程x2?y2?2(m?3)x?2(1?4m2)y?16m4?7m2?9?0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.

直线与圆的位置关系

¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定：方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或(y)，化为一元二次方程，由判别式符号进行判别;

方法二：利用圆心(a,b)到直线Ax?By?C?

0的距离d?

，比较d

与r的大小.

(1)相交?d?r? ??0;(2)相切?d?r???0;(3)相离?d?r???0. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式

1】若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值

【例2】求直线l:2x?y?2?0被圆C:(x?3)2?y2?9所截得的弦长.

圆与圆的位置关系

¤知识要点：两圆的位置关系及其判定：设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，则：

(1)两圆相交?|r1?r2|?|O1O2|?r1?r2;(2)两圆外切?|O1O2|?r1?r2;(3)两圆内切?|O1O2|?|r1?r2|; ¤例题精讲：【例1】已知圆C1：x2?y2?6x?6?0①，圆C2：x2?y2?4y?6?0② (1)试判断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在的直线方程.

【例2】求经过两圆x2?y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交点，并且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程.

课后练习一、选择题

1.设直线ax?by?c?0的倾斜角为?，且sin??cos??0，则a,b满足( ) A.a?b?1

B.a?b?1

C.a?b?0

D.a?b?0

2.过点P(?1,3)且垂直于直线x?2y?3?0 的直线方程为( )

A.2x?y?1?0 B.2x?y?5?0 C.x?2y?5?0 D.x?2y?7?0 3.已知过点A(?2,m)和B(m,4)的直线与直线2x?y?1?0平行，

则m的值为( )

A.0 B.?8 C.2 D.10

4.已知ab?0,bc?0，则直线ax?by?c通过( )

A第一二三象限 B第一二四象限 C第一三四象限 D.第二三四象限 5.直线x?1的倾斜角和斜率分别是( ) A.450,1

B.1350,?1 C.900，不存在 D.1800，不存在

6若方程(2m2?m?3)x?(m2?m)y?4m?1?0表示一条直线，则实数m满足( ) A.m?0 B.m??二、填空题

1.点P(1,?1) 到直线x?y?1?0的距离是________________.

2.已知直线l1:y?2x?3,若l2与l1关于y轴对称，则l2的方程为__________; 若l3与l1关于x轴对称，则l3的方程为_________; 若l4与l1关于y?x对称，则l4的方程为___________;

3.若原点在直线l上的射影为(2,?1)，则l的方程为____________________。 4.点P(x,y)在直线x?y?4?0上，则x2?y2的最小值是________________. 5.直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为

B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为________________。

C.m?1 D.m?1，m??，m?0 22

三、解答题

1.已知直线Ax?By?C?0，

(1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与x轴相交; (4)系数满足什么条件时是x轴;

(5)设P?x0，y0?为直线Ax?By?C?0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A?x?x0??B?y?y0??0.

2.求经过直线l1:2x?3y?5?0,l2:3x?2y?3?0的交点且平行于直线

2x?y?3?0的直线方程。

3.经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程。

4.过点A(?5,?4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面

积为5.

职高高一数学教案直线方程2

我们在初中学习的直线的方程包括有平面方程和空间方程两种，相较于空间方程来说，平面方程的运用比较的多。

平面方程

1、一般式：适用于所有直线

Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)

2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为

y-y0=k(x-x0)

当k不存在时，直线可表示为

x=x0

3、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线

由点斜式可得斜截式y=kx+b

与点斜式一样，也需要考虑K存不存在

4、截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线

知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为

bx+ay-ab=0

特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=1

5、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线

(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)

6、法线式

Xcosθ+ysinθ-p=0

其中p为原点到直线的距离，θ为法线与X轴正方向的夹角

7、点方向式 (X-X0)/U=(Y-Y0)/V

(U，V不等于0，即点方向式不能表示与坐标平行的式子)

8、点法向式

a(X-X0)+b(y-y0)=0

空间方程

1、一般式

ax+bz+c=0,dy+ez+fc=0

2、点向式：

设直线方向向量为(u,v,w )，经过点( x0,y0,z0)

(X-X0)/u=(Y-Y0)/v=(x-x0)/w

3、x0y式

x=kz+b,y=lz+b

总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。

职高高一数学教案直线方程3

教学目标：

(1)掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化.

(2)理解直线与二元一次方程的关系及其证明

(3)培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点.

教学重点、难点：直线方程的一般式.直线与二元一次方程 ( 、不同时为0)的对应关系及其证明.

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：

教学设计思路：

(一)引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：

问：说出过点 (2，1)，斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么?

答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次.

肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述.再看一个问题：

问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么?

答：直线方程是 (或其它形式)，也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次.

肯定学生回答后强调"也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次".

启发：你在想什么(或你想到了什么)?谁来谈谈?各小组可以讨论讨论.

学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：

【问题1】"任意直线的方程都是二元一次方程吗?"

(二)本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决?自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路.

学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导.

经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案：

思路一：…

思路二：…

……

教师组织评价，确定最优方案(其它待课下研究)如下：

按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在.

当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程.

当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗?

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的.

综合两种情况，我们得出如下结论：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程.

至此，我们的问题1就解决了.简单点说就是：直线方程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是"要么形如这样，要么形如这样的方程".

同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达?

学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式.

这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如 (其中、不同时为0)的二元一次方程.

启发：任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢?

【问题2】任何形如 (其中、不同时为0)的二元一次方程都表示一条直线吗?

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面.这是显然的吗?不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论.那么如何研究呢?

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程 (其中、不同时为0)系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即

(1)当时，方程可化为

这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线.

(2)当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为

这表示一条与轴垂直的直线.

因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如 (其中、不同时为0)的二元一次方程都表示一条直线.

为方便，我们把 (其中、不同时为0)称作直线方程的一般式是合理的.

【动画演示】

演示"直线各参数"文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线.

至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系.

(三)练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计

略

职高高一数学教案直线方程4

(一)初步培养了学生平面解析几何的思想和一般方法。

在初中，学生熟知一次函数y=kx+b(也可以看成是二次方程)的图象是一条直线，但反过来任意画一条，要同学们写出方程表达式，学生刚开始会无从下手，从而激发学生学习的兴趣。随着教学的展开，让学生逐步形成平面解析几何的方法，如建立坐标啊，设点啊，建立关系式啊，得出方程啊等等，初步培养学生的平面解析几何思维，为后面学习圆、椭圆和相关圆锥曲线打下良好的基础。

(二)在教学中贯彻"精讲多练"的教学改革探索。

我们都知道，对于职中的学生，基础差，底子薄，理解能力差，动手能力差，要想让学生学有所得，最好的办法就是精讲多练，提高学生的动手能力。因此在教学中，我们通常是由练习引入，简单讲讲，一例一练，配以一定的巩固提高题，最后还有配套作业，做到每个内容经过三轮的'练习，让学生能够很容易的掌握。

(三)注意数形结合的教学。

解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在教学中要注意这种数学思想的教学。每一种直线方程的讲解都进行画图演示，让学生对每一种直线方程所需的条件根深蒂固，如点斜式一定要点和斜率;斜截式一定要斜率和在y轴上的截距;截距式一定要两个坐标轴上的截距等等。并在直线方程的相互转化过程中也配以图形(请参考一般方程的课件)

(四)注重直线方程的承前启后的作用。

教材承接了初中函数的图像之后，并作为研究曲线(圆、圆锥曲线)之前，以之来介绍平面解析几何的思想和一般方法，可见本节内容所处的重要地位，学好直线对以后的学习尤为重要，事实上，教材在研究了直线的方程和讨论了直线的几何性质后，紧接着就以直线方程为基础，进一步讨论曲线与方程的一般概念。

职高高一数学教案直线方程5

一.教学对象方面：

本节课面对的学生是文科班位于中等层次的班级。文科班的学生对于数学普遍存在畏难情绪，所以在教学设计之初就立足于从简到难的思想，所以在教学过程中有了从特殊化到一般化的，再从一般化到特殊化这样两个环节并且设计的数据都比较简单易算，希望能够引起学生学习兴趣，并从中体会到数学学习中解决问题的思维过程。从课堂效果来看这个目的基本达到，学生课堂反映较好，参与积极，气氛热烈。

二.教学内容方面：

本节课主要解决的问题是掌握直线的点斜式方程，斜截式方程。直线是解析几何部分最基础的图形，其方程形式有点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式这五种形式。在这五种形式中出现最频繁，最基本的就是点斜式和斜截式。所以对这两种形式要做到能够熟练的根据条件选择合适的直线方程形式。在课堂中可以发现学生已经基本能够达到这一点。但是也存在几个方面的问题，如果直接提供一点一斜率，学生马上能够把直线方程的形式脱口而出。但是如果提供的是倾斜角，对倾斜角加以适当变化的话，部分学生还是存在一定的困难，有些是对斜率公式的不熟悉，有些是对三角函数公式的不熟悉造成的。说明部分学生对于三角函数部分的内容基础不扎实遗忘率较高，对于斜率和倾斜角的关系的理解还是存在疏漏之处，思维严密性需要提高。

三.教学改进：

第一需要继续强化基本概念的教学，深化学生对基本概念的理解。可以通过一些小练习，如填空，选择等加强学生逻辑思维能力的训练。如课堂练习中的变式还是较好的一种方式。以变式这种方式更易于学生发现问题的相同与不同之处，如果能够让学生自己加以适当的总结，老师再加点评，那效果会更好。不过这对课堂时间的控制要求较高，所以采用何种方式展开需要更多的思考。

第二需要设置梯度，逐步提高难度。由于本节课面对的对象，而且这是直线方程的第一节课，所以设置的内容还是简单易懂的，但是以后的课程中难度要求还是需要逐步提高综合应用能力，这需要在以后的课程中逐步贯彻。

职高高一数学教案直线方程5篇思维导图