矩阵思维脑图思维导图
U956158507
2024-01-18
矩阵
线性函数
子集
矩阵相关知识点汇总
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思维导图大纲
相关思维导图模版
矩阵思维导图模板大纲
向量之间比大小
半序关系
某向量每一个分量都小于另一向量
“线性“+”空间“
线性
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(kx)=kf(y)
空间
封闭的集合
运算后还在该系统内
双集合
对象集
变元
辅助集
通常是数集
举例2A
2是实系数辅助集中的元素
A是矩阵，对象集中元素
多项式
常见类型
零多项式
系数都为0
零次多项式
b≠0，其他系数都为0
单位矩阵环I[K]
满足双射击是同构
一元多项式环
K[x]
在数域K上所有n阶矩阵组成的集合
Mn[K]
是交换环，因为矩阵自身的幂可以交换位置
必有p(x)+r(x)且唯一
除的尽
f(x)=q(x)|g(x)
g(x)称为因式
f(x)称为倍式
相伴
f(x)|g(x)且f(x)|g(x)
必有c使得f(x)=cg(x)
线性方程组
齐次
一组必过原点的直线
必有零解
这组直线只在原点相交
可能还存在非零解
直线重合
无穷多解
几何意义
点乘为0，系数列⊥未知数列
行向量张成空间的正交补空间
功能
找正交向量
非齐次
增广矩阵
系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩
无解
直线平行
系数矩阵的秩=增广矩阵的秩＜n
无穷解
直线重合
增广矩阵=增广矩阵=n
唯一解
直线有一个交点
系数矩阵是x,y,z未知元素的映射
点积后相加
行列式意义
源自判别式determinant方程是否有解
齐次线性方程组
|A|≠0唯一解
|A|=0无数解
非齐次方程组
|A|=0无数解
无解
无数解
|A|≠0唯一解
几何意义
矩阵经过线性变换后体积或面积的缩放倍率
二重积分换元的雅可比行列式
面积或体积
行列式性质与矩阵初等变换区别
矩阵初等变换
初等变换保证同解变换
相同解则称为矩阵等价
性质
反身性A～A
对称性A～B,B～A
传递性
行列式性质
数乘k后增加k倍
必须是方阵
换行后值变符号
Fn(n为上标)
长度为n的“组”的集合
组(list)中的元素是有次序的
(2,3)≠(3,2)
集合中元素无次序
(2,3)=(3,2)
在R3中(0,3,1)，(0,1,0)是长度为2的组
注意长度不是3
常见例子
F是R(实数)
F是C(复数)
线性空间
需要的11个条件
加法
交换律 x+y=y+x
结合律(x+y)+z=x+(y+z)
有零元
有负元
数乘（纯量积）和加法
分配律a(x+y)=ax+ay
对实数分配率(a+b)x=ax+bx
结合律a(bx)=(abx)
v乘以1 = 1
加法封闭性
乘法封闭性
非空
例子
矩阵
n维向量空间
多项式
实变量函数
线性函数
在线性空间中
比例性\齐次性\数乘f(kx)=kf(x)
可加性f(x+y)=f(x)+f(y)
线性函数的组合等于函数的线性组合f(x)=ax+b就不满足齐次性
双线性函数
是二元函数f(x,y)
f中的x,y两个位置都满组可加性+比例性
子集
从线性空间抽出子集
子集的交
不要求位置对齐，是笛卡尔积
子集的和
不是子集的交
各子集元素的组合（所有可能）
注意组合时位置要对齐，不是笛卡尔积
各位置上元素与元素直接的组合
坐标上x坐标和x坐标
向量中，第一位置和第一个位置
从线性空间不太关注子集的和，性质不好，没啥用
所以关注子空间的和
子空间
U已经是W子集的情况下要求满足
0∈U
加法封闭性：x,y∈U,必须x+y∈U
标量乘法封闭性x∈U，必须a*x∈U
交U∩W
两个子空间的交仍是子空间
和U+W
发现两个子空间中元素相加居然仍是子空间
U+W还是包含U、W的最小子空间
U+W还是既包含U又包含W的最大子空间
U+W还是既包含U又包含W的最大子空间
维数定理
dimV+dimW=dim(V+W)+dim(V∩W)
限定为有限维子空间
R3向量子空间
0向量
过原点直线
过原点平面
R3自身
深入理解
子集属于集合，子空间是约束条件更多的特殊子集
总是有一个类似原点或0的东西
空间和集合还是有些差别
子空间例子
向量组线性组合的所有可能
向量空间有原点，而且有对称性
子空间不要求运算后的结果仍在自身内，只要求结果仍满足3条
不变子空间
定义
x是V的子空间，𝓐x仍属于V
被算子映射到自身
在子空间的基础上加上一个变换𝓐
𝓐是变换，也是矩阵
一维不变子空间𝓐x = xλ
λ要写在右边
含义：经过𝓐映射后，结果还是这个x向量
从简单的一位向量导出特征向量和特征值
以一维向量为基础，然后把多个一维向量拼合成多维矩阵
多维不变子空间表现为矩阵三角化
例子
核
像
AB=BA(两个矩阵可交换)，则BV是A的不变子空间，AV是B的不变子空间
直和
子空间和中每个元素都可以唯一的表示成u1+u2+...+um
比子空间又多了一个“唯一表示其他元素”的功能
例如（x,y,0）+(0,0,z)
验证唯一比较难，验证不是直和比较容易
验证0是否可由多个线性组合生成
充要条件
每个元素u必须是0才能表示成0=u1+u2+...+um
在此基础场各元素加上任意值推出其他元素也只能唯一表出
证明方法
如果是直和，由于0的表示必须唯一，所有每个u必须是0
假设不唯一还有一个，两式相减，相等
两个子空间的交是直和条件
A∩B={0}
表明两个子空间“有且只有“一个共同的元素0
不能有其他共同元素了
多个子空间的交是直和条件
A∩B={0}且A∩C={0}且B∩C={0}
任意两个子空间“有且只有“一个共同的元素0
张成
取线性空间中的一部分向量组
有很多种取法
该组向量标量相乘后相加得到的向量
线性组合
用尖括号记为<k1α1+k2α1...ksαs>
张成空间
该组向量的所有线性组合的集合
由于取法不同张成的空间也不同
线性表出
β由k1α1+k2α1...+ksαs线性组合
用子空间的方式理解是否有解
β如果在子空间内就能线性表出，否则不能表出
β如果在子空间内非齐次方程组有解
向量组等价
两个向量组能够相互线性表出
极大线性无关组都能相互线性表出
因为它们每个都和整个向量组相互线性表出
通过整个向量组间接证明它们等价
线性无关
受最简单平面几何意义启发
一个平面可由非共线的两条直线决定
先找直线共线条件:线性相关
反证法找非共线条件:线性不相关
推广到抽象
找出哪些向量组可以作为坐标系表示别人
证明思路
构造线性方程组求解+反证法
dim=n，n+1维向量组必然线性相关
极大线性无关部分组
两个条件
线性无关
其他向量都能由它表示
秩：极大线性无关部分组的向量个数
极大线性无关组不一定唯一，但他们等价
根据“传递性”
找它的思路：再额外添加一个立刻就线性相关了
先保证该部分组是线性无关的
集合中其余向量任何一个添加进来后立马线性相关
单个向量
0向量线性相关
包含0向量线性的部分组必线性相关
任意数乘0向量=0，所以线性相关
非零向量线性无关
6个方向上的理解
行列式
行列式=0
齐次线性方程组
只有零解
线性表出
线性相关
其中至少有一个向量可由其余向量表出
把不为零的那个k除过去
在某个向量组线性无关的条件下，用该向量组表出方式唯一
线性组合
线性相关
有不全为0的系数线性组合成0向量
向量组与部分组
如果线性无关，则任何它的部分组线性无关
某个向量组的部分组线性相关则它也线性相关
向量组与延伸组、缩短组
原向量组线性相关
向量组相同位置添加减少m个分量后仍线性无关
极大线性无关集
S是部分组且线性无关，任取b是剩下的一个向量，S∪{b}线性相关
针对的是线性空间
可以和基互相推导
核
意义
齐次方程组的一组解
这组向量使得A变换成0
因此也叫零空间
B的0向量在A的原像
把某矩阵A当做系数矩阵的齐次方程组的解空间
Ax=0
核空间是子空间
像
Ax后的所有可能结果
意义
把A看出一种映射，映射后的值域
A的列向量张成的所有可能向量，x不过是系数罢了
像空间是不变子空间
秩
几种定义
“非零子式”的“最高”+“阶数”
子式定义：任取k行k列的行列式
r阶子式不为零，r+1阶全为零
因为r+2阶子式是r+1阶代数子余式得到
0≤秩≤矩阵的行数和列数两者中小的那个
满秩
行满秩
秩=矩阵的行数
列满秩
秩=矩阵的列数
若方阵满秩
方阵可逆
方阵的行列式|A|≠0
基
两大特点
自身是极大+线性无关
能表示其他所有人
它能线性表示空间中任何一个向量
基不一定只有一组
限定维n维线性空间，所以基中的向量个数也必须是n
判断方法：一组向量是不是基
矩阵消元求秩
|A|行列式是否为零
基扩充定理
前提条件子空间的维数r<n
子空间已经蕴含了基
线性映射
扩充步骤
子空间的基不是母空间的基，不能完全标表出n+1向量
所以在n+1空间内存在基
以此类推
有限维上当固定某一个基后，线性映射𝓐一一对应一个矩阵B
矩阵属于白箱
知道内部结构规律
线性映射属于黑箱
不知道内部规律
只知道输入后得出输出
从一个空间映射到一个空间（两个空间可以不相同）
线性映射比同构映射少了一个条件“双射”
对偶空间
V是F域上线性空间
V的对偶空间
有限维
记为Hom(V,F)
F域中n维映射到单值的所有函数f组成的空间
无限维
记为V*
V的一个基α1,α2....
对偶基
任取一个f，把V的基映射成f(α1),f(α2)...
线性变换
在自己的空间内变来变去
相似
线性映射𝓐在同一个空间下用不同的基表示称为相似
合同
一个有内积性质线性映射𝓐在同一个空间下用不同的基表示称为合同
保角度、保长度
Hom(v,v)
投影
定义
A⊕B=V
c=a+b,a属于A，b属于B
V到A的映射
c属于A时，F(c)=a
c属于B时，F(a)=0
性质
正交性质AB=BA=0
幂等性A的平方=A
等价
PAQ=B
P记录了行变换信息
Q记录了列变换信息
相似变换
三角化的几何实质是找不变子空间
相似不一定能对角化，但对角化一定相似
两个矩阵相似
迹相等
行列式相等
秩相等
不变子空间
对角化
一种特殊的相似
对角矩阵比较好的性质
对角线上的值恰好就是特征值
条件
有重根“不一定”能对角化
代数重度(重根数)=几何重度(矩阵A-λE的零空间的维数)
特征值
代数重度
小于等于几何重度
可能=0
特征向量
不能0
几何重度
向量重复的次数
和约当块个数相同
几何意义
变换作用在特征向量作用
只伸缩变换
特征值是伸缩大小
不造成旋转
变换后的结果仍是一共向量
该向量和特征向量共线
某矩阵能不能对角化？充要条件
各个特征特征向量线性无关
证明
A(ξ1,ξ1)=(λ1ξ1,λ2ξ2)
可以看出特征值可以不同
左边是基右边也是基
此证明反过来也可以构造一个可对角化的矩阵
把特征向量作为的基的好处
特征向量拼合成PA=BP中的P矩阵
只伸缩基，不涉及旋转
特征多项式
每个系数是n阶层主子式
证明方法
对行列求0、1、2...次导数
把λ=0代入
三个特殊系数
最高次项系数为1
次高项系数=-（迹）
0次项=(-1)的n次方行列式|A|
迹
特征值之和=迹之和
迹之积=行列式
推导
只要有特征值为0则行列式为0
不满秩
有非零解
合同变换
和相似变换没有关系，各自是不同变换方式
惯性指数相同判断是否合同只在两个都是实对称矩阵时适用
合同与是否对称也没关系，只是教材只讨论对称矩阵的合同
对称矩阵合同变换后仍是对称矩阵
Hermite矩阵
实对称
定义
转置=自身
性质
一定能对角化的两种方式
用普通可逆矩阵去对角化它
用正交矩阵去对角化它
若特征值不同，则特征向量正交
特征值是实数
加法和数乘后仍是对称
若两个矩阵可交换AB=BA，则乘积AB对称
伴随矩阵仍对称
两个实对称AB相似，则一定有AB合同关系
正定矩阵
判别是否正定方法
傻算验证
配方
检查特征值都大于0
判别方法
复对称
转置+共轭=自身
半线性
不是双线性，只能保证一个是线性，第二个是共轭线性
实线性组合仍是对称矩阵
复线性组合不一定对称矩阵
AB是hermite矩阵当且仅当A与B可交换
(AB)*=B*A*=BA
二次型
本质就是圆或椭圆
一次项不影响形状，一般只影响位置
所以重点关注二次项
通常想把一般二次型化成只含有平方项的二次型（圆或椭圆）
化斜椭圆为正椭圆
长轴和短轴与直角坐标轴共线
减少交叉项
可逆线性变化
保持曲面类型不变
但曲面本身可能会会改变
正交变换
不缩放、不扭曲
但是位置可能会改变
合同化（实对称）
不改变类型+不缩放
位置可能改变
惯性定理
只针对标准二次型
不含交叉项
惯性系数
p-q的差
p代表正系数的个数
q代表负系数的个数
惯性定理
不管怎么可逆变换
标准型平方项的正负项“个数”不变
正定性不变
惯性系数不变
秩不变
λ矩阵
限制在环论意义下
不包括域论下的除法因为多项式除法不封闭于环中
缺点
相除后的结果不一定仍是多项式
只能在环中，而不是域
矩阵初等变换中的某行乘以k后加到另一行不一定可逆
单位模阵
类似于逆矩阵的概念，但和逆矩阵不完全相同
因为缺少除法，没办法用伴随矩阵
充要条件
行列式是非零常值
证明
两个多项式乘积为1，则只能是两个常数
否则次数是增加的
用初等变换将左上角降次
smith标准型
双线性函数
定义
V是线性空间，VXV→F的映射
降维了
f(k1α1+k2α2,β)=k1f(α1,β)+k2f(α2,β)
f(α,k1β1+k2β2)=k1f(α,β1)+k2f(α,β2)
复数时，对第二个只满共轭线性
对于一切α，α固定后(把α看成一个常数)，任意一个β,f(α,β)有线性特性
得到一批关于β的线性函数
在基的视角下
∑∑xiyif(基,基)
先求出基的函数值就行了，任意向量只要用坐标乘以该值
矩阵的范数
诱导范数、算子范数
p-范数、闵可夫斯基范数
元素形式范数
Schatter范数
点积
性质
x.x≥0
注意两个相同，不能x.y
x.x=0当且仅当x=0
x.y=y.x
正交
当内积空间的内积为0时，延伸出了正交概念
线性组是否有一个标准正交基？
必存在
待定系数去构造（施密特正交化）
施密特正交化在数值计算上不稳定
在计算机上应用需改进
正交矩阵
定义
转置乘以自身是单位阵E
转置=逆
性质
|A|=±1
转置也正交
行(列)向量是两两正交的单位向量
相乘后的矩阵除对角线上元素外其他为0(因为正交)
矩阵的行（列）向量乘以自身转置必须是单位矩阵
引出内积概念
酉矩阵
两个视角看待酉矩阵
由标准正交基拼合成的矩阵
把酉矩阵看成线性映射作用其他向量上保角度、保范数
傅里叶级数的精髓
某项级数和整个函数内积后，把其他项都过滤掉了，只留下关于自己和自己的内积
避免包含其它分类的大线性方程组
正交补
与子空间w中任意向量都正交的向量集合
QR分解
前提条件
列线性无关
投影定理
可以看成是一个多元变量到正实数的映射
α是个向量
求的的距离d只能是个正实数
α=arg min d(β,w) w∈W
V是复数域上的有限维“内积”空间
W是V上的有限维子空间
β∈V
β是已知的、固定的
α
存在
通过投影三角形解方程得到投影算子证明存在
唯一
假设还有另外的最小距离，则它们必须相等，否则其中一个不是最小
由勾股定理保证：不可能斜边和直角边相等
它到β的距离最小
通过勾股定理证明
分解
LR分解
本质是左乘行变换
多重线性映射
多个线性空间映射到一个线性空间
笛卡尔积V1XV2X...Vr映射到W
每个V中可以取不同的基，不同基的组合不同，最终效果不同
映射𝓐
唯一性
存在性
例子
行列式𝓐
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