《高等数学》多元积分学思维导图

2022-11-15

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数学

高等数学

多元积分学

《高等数学》多元积分学

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思维导图大纲

概念

极限

连续

偏导数

可(全)微

二重积分

积分法

直角坐标系

投影，找范围

分成上下两曲线

极坐标法

边界函数有 x^2+y^2

f中含有x^+y^2

步骤

x=cost, y=sint; da= rdrdt

找出t范围，找出r范围

题型

交换积分次序

题型

题目要求

极坐标和直角坐标互换

积分积不出来

次序错

方法错（极直）

典型积不出来函数：

e^(x/k)dx

x^(2n)*e^(士x^2)dx

cos(1/x)dx

sin(1/x)dx

一般做法

画图

向新方向投影

计算题

性质和积分法

三重积分∫∫∫(Ω) fdv

直角坐标法（直角坐标系）

铅直投影法

投影一个面到一个平面，并找出该面范围D

分成上下两个曲面，分别写出表达式∑1和∑2

Ω = （如投影到xoy）

(x,y)属于Dxy

z1≤ z < z2

∫∫∫(Ω)fdv = ∫∫(Dxy)dxdy∫(上z2(x,y)，下z1(x,y))f(x,y,z)dz

切片法（均匀变化）

用xoy或yoz或xoz平面切割使得分成一小片面积元素Dz

omega =（xoy）

（x,y）属于Dz

c≤ z ≤d

∫∫∫(Ω)fdv = ∫(上d下c)dz∫∫f(x,y,z)dxdy

柱面坐标法（必须用铅直投影法）（极坐标系）

特征

Ω边界含有x2+y2

f中有x2+y2

变换

x=rcost

y=rsint

z=z

找出a≤t≤ß, r1(t)≤r≤r2(t)

fine1(rcost,rsint)≤z≤fine2(rcost,rsint)

dv=rdrdtdz

球面坐标法

特征

Ω边界含x2+y2+z2

f也

曲线积分∫Lf(x,y)ds

第一类，对弧长

性质

计算法

L: y=y(x) a≤x≤b

∫Lf(x,y)ds=∫(上b,下a)f(x,y(x))√(1+y'(x)^2)

f(x,y)其实就是由x决定的，伪二元

第二类，对坐标

二维

方法一

定积分法

case1

case2

方法二

格林公式

单连通的题一般是补

先把L+BA用格林公式化成二重积分然后算出

再把AB单独用方法一求

多连通一般是挖

挖：

某点🙅：有Q和P中有分母

在那点挖一个小圆，方向为顺时针L0，L0全在L里面，r>0

可用格林公式的积分：

若发现dQ/dx和dP/dy相等（消去预警）

则：L0有个特点是可以消去原来的分母

分母被消去就可以再次格林

方法三

与路径无关

D是平面单连通区域，PQ连续且有一节连续偏导数

三维

方法一：定积分法（只能用参数式）

方法二：Stokes公式

注意三个角度的（法向量）方向要和正向一致

曲面积分

对面积曲面积分

形心

密度P均连续

f中z是由x，y决定的，其实就是伪三元

把f理解成密度比较好理解

解题步骤

二重积分法

空间曲面的面积

对坐标的曲面积分

方法一：二重积分法（“线切面法”）

步骤

方法二：高斯公式

2023年考研高等数学冲刺阶段重难点分析！学姐整理思维导图

情殇未去

3.72

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