线性代数思维导图

tonghui

2025-12-15

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线性代数

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思维导图大纲

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线性代数思维导图模板大纲

第1章行列式

1.1 二、三阶行列式

一、二阶行列式

二、三阶行列式

1.2 全排列及其逆序数

一、排列的逆序数

二、逆序数的性质

1.3 n阶行列式的概念

1.4 行列式的性质

1.5 行列式的展开定理

一、按一行（列）展开

二、行列式的计算

三*、拉普拉斯定理

1.6 克拉默法则

第2章矩阵

2.1 矩阵的概念

2.2 矩阵的运算

一、矩阵的加法

二、数乘运算

三、矩阵的乘法

四、转置矩阵、对称矩阵和反对称矩阵

五、方阵的行列式

2.3 逆矩阵

2.4 矩阵的秩与初等变换

一、矩阵的秩

二、矩阵的初等变换

三、用初等变换求矩阵的秩

阶梯形矩阵

行最简形矩阵

等价标准形

满秩矩阵

降秩矩阵

四、线性方程组与矩阵的初等变换

消元法与初等变换

齐次线性方程组有非零解的充要条件

2.5 初等矩阵

Pij

Di(k)

Tij(k)

初等变换与初等矩阵

初等矩阵与可逆矩阵

2.6 矩阵的分块法

一、分块矩阵的加法

二、数乘分块矩阵

三、分块矩阵转置

四、分块矩阵的乘法和分块矩阵求逆

五、对角分块矩阵

六*、分块矩阵的初等变换

第3章向量代数、平面与直线

3.1 向量及其线性运算

一、向量的概念

二、向量的线性运算

三、空间直角坐标系

四、利用坐标进行向量的线性运算

五、向量的模、方向角、投影

3.2 向量的数量积、向量积、混合积

一、两向量的数量积

二、两向量的向量积

三、向量的混合积

3.3 平面及其方程

一、平面的方程

二、与平面相关的一些问题

3.4 空间直线的方程

一、空间直线的方程

二、与直线有关的一些问题

第4章向量组的线性相关性

4.1 n维向量的概念及其线性运算

一、n维向量的定义

二、n维向量的加法和数乘运算

4.2 向量组的线性相关性

4.3 线性相关性的判别定理

4.4 向量组的秩

一、向量组等价的概念

二、极大线性无关组与向量组的秩

三、向量组的秩及极大无关组的求法

4.5 向量空间

一、n维向量空间的概念

二、生成空间

三、向量空间的基与维数及向量的坐标

第5章线性方程组

5.1 齐次线性方程组

5.2 非齐次线性方程组

第6章特征值与特征向量

6.1 特征值与特征向量

一、特征值与特征向量的定义

二、特征值与特征向量的性质

6.2 方阵的相似化简

一、相似矩阵

二、方阵可对角化的条件

第7章二次型

7.1 标准正交基

一、向量的内积

二、标准正交基

三、施密特（Schimidt）正交化方法

四、正交矩阵与正交变换

7.2 实对称矩阵的对角化

一、实对称矩阵的性质

二、实对称矩阵的对角化方法

7.3 实二次型及其标准形

一、实二次型及其矩阵

二、二次型的标准形

三、合同矩阵

四、将二次型化为标准形

7.4 实二次型的规范形

7.5 正定二次型与正定矩阵

一、正定二次型与正定矩阵

二*、其他有定二次型

第8章空间曲面与曲线

8.1 空间曲面及其方程

一、空间曲面的方程

二、旋转曲面

三、柱面

8.2 二次曲面及其分类

8.3 空间曲线及其方程

一、空间曲线的方程

二、空间曲线在坐标面上的投影

第9章线性空间与线性变换

9.1 线性空间的概念与基本性质

一、线性空间的概念

二、线性空间的基本性质

三、子空间

9.2 线性空间的基与坐标

9.3 基变换与坐标变换

9.4 线性变换的概念与基本性质

一、线性变换的定义

二、线性变换的基本性质

9.5 线性变换的矩阵表示

9.6* 欧氏空间

一、向量的内积

二、标准正交基

三、度量矩阵

9.7* 线性空间的同构

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