高等数学思维导图

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2025-11-04

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高等数学

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高等数学各章节教学重点内容讲解

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思维导图大纲

第一章函数极限连续

函数

复合函数：两函数交集不能为空集

反函数：对于y=f(x)记作x=f^-1(y);单调函数一定有反函数，反之不然；f^-1[f(x)]=f[f^-1(x)]=x。

初等函数

函数性质

单调性

奇偶性

奇函数+奇函数=奇函数;偶函数+偶函数=奇函数

奇函数x奇函数=偶函数;偶x偶=偶;奇x偶=奇

周期性

T>0,对任意x,恒有f(x+T)=f(x);eg:若f(x)以T为周期,则f(ax+b)以T/|a|为周期

有界性

极限

数列极限

当Xn->a时,Xn+1->a极限不变

函数极限

第一重要公式:

第二重要公式:

极限存在的充要条件是左右极限存在且相等;需要分左,右极限求极限问题的三种情况:1.分段函数在分界点处极限(limx->0|x|/x))2.e♾️型极限3.arctan♾️型极限

极限性质

有界性

数列收敛则有界;无界数列一定发散;若X趋于X0的函数存在,则它在X0某去心邻域有界

保号性

数列lim n->Xn=A;1.极限值保数列的项2.数列的项保极限值.注意:1.严格不等号(即>或<>)2.不严格不等号(即<=或>=)

函数limx->x0f(x)=A;1.极限值保函数2.函数值保极限.和数列注意点相同

极限存在准则

夹逼定理:多用于求n项和的数列极限上

单调有界准则:单调有界数列必有极限;多用于求递推关系Xn+1=f(Xn)所定义的数列极限上

无穷小量

无穷小比较

设lima(x)=0,limp(x)=0,且p(x)!=0;现存在lima(x)/limp(x),将它赋给A;1.A=0高阶2.A=♾️低阶3.A=C同阶4.A=1等价

性质

有限无穷小和为无穷小;有限无穷小积为无穷小;无穷小乘有界是无穷小

无穷大量

常用无穷大比较

当n->♾️,对数 (ln^ax) << 幂 (n^c) << 指数 (a^n) << 阶乘 (n!) << n^n(a>0,c>0,n>1)

性质

1.两无穷大量积仍为无穷大量2.无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量3.无穷大量必为无界变量,无界变量不一定是无穷大量

求极限方法(看笔记)

函数连续性

定义

1.函数在某点连续 ⇔ 该点的极限值 = 该点的函数值

2.函数f(x)在点X0处连续的充要条件是f(x)在点X0即左连续也右连续

间断点及分类

第一类间断点

左右极限都存在

可去间断点

左右极限存在且相等

跳跃间断点

左右极限存在但不相等

第二类间断点

左右极限至少一个不存在

无穷间断点

至少一个极限不存在且为♾️

震荡间断点

y=sin1/x在x=0无定义,称x=0为它震荡间断点

连续性运算性质

只要两函数在同一个点连续,则二者加减乘除都连续

函数f(x)=u在x0处连续,f(u)=y在u0连续,复合函数y=f(f(x))在x0连续

闭区间上连续函数性质

最值定理

f(x)在[a,b]连续,则f(x)在区间内必有最大最小值

有界性定理

f(x)在[a,b]连续,则f(x)在区间必有界

介值定理

f(x)在[a,b]连续,f(a)!=f(b),对任意介于二者间的数C,至少存在一点&属于(a,b),使f(&)=C

零点定理

f(x)在[a,b]连续,且f(a)*f(b)<0,则至少有一点&属于(a,b),使f(&)=0

第二章导数与微分

导数的概念

函数f（x）在点x0处可导的充分必要条件是它在该点左右导存在且相等

微分的概念

函数y=f（x）在x0可微的充分必要条件是f（x）在点x0可导，且dy=f‘（x0）▲x=f‘（x0）dx

几何意义

导数：表斜率，牢记切线方程和法线方程；法线为切线负倒数

微分：无关紧要

一元函数关系图

求导法则和公式（看笔记）

隐函数求导

dy/dx = - F'_x / F'_y (当 F'_y ≠ 0 时适用)

反函数的导数

若y=f（x）在某区间单调可导，且导数不为0，反函数x=p（y）在对应区间也可导，p'（y）=1/f'（x）

参数方程求导

设y=f（x）由参数方程x=a（t），y=b（t）确定；（1）均可导且分母不为0，则一阶导dy/dx=b'（t）/a'（t）。（2）二阶导：d^2y/dx^2=d/dt(dy/dx)dt/dx

对数求导

核心：函数取对数，两边对x求导

常用高阶导公式

第三章微分中值定理及导数应用

费马引理

设函数f（x）在x0可导，如果在x0取得极值，那么f'（x0）=0

罗尔定理

若f(x)在闭区间连续开区间可导且f(a)=f(b),则在（a，b）内至少有一点c，使f'(c)=0

拉格朗日中值定理

若f(x)在闭区间连续开区间可导,则在（a，b）内至少有一点c，使f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

柯西定理

若f(x)和F(x)满足在闭区间连续在开区间可导且F'(x)在(a,b)内每一点处均不为零，则在（a，b）内至少存在一点c，使[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(c)/F'(c)

导数应用

单调性：函数闭区间可导开区间连续，导数大于零递增反之递减

函数极值

必要条件：设f(x)在x0可导，如x0为极值点，则f'(x0)=0

第一充分条件：设函数f（x）在点x0某去心邻域可导，且f'（x）=0；x0左边的x导数大于0，右边的x导数小于0则为极大值，反之极小值

第二充分条件：设f（x）在点x0处二阶可导，且f'（x0）=0；若二阶导＜0为极大值，反之极小值，二阶导=0不能判断

函数最大值（最小值）

函数在闭区间有定义，x0∈[a,b],对任意x∈[a,b]，恒有f（x）≤f（x0），称f（x0）为最大值点，反之最小值

穿针引线法：奇穿偶不穿，奇像椅偶像对（第二句话指y=(x-n）^a;(a和n为任意常数)的二阶导图像；eg：y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4 有6个拐点，5个极点（把x趋于♾️从右边开始穿，大于0从上小于0从下）

曲线凹凸性

定义：f((x1+x2)/2)<[f(x1)+f(x2)]/2)图形为凹，反之为凸

定理

函数闭区间连续，开区间二阶可导，若二阶导＞0，则函数在闭区间图形为凹，反之为凸

拐点：连续曲线弧上凹和凸分界点（可用穿针引线法）

拐点必要条件：f(x)二阶可导，（x0，f(x0）为拐点，则f''(x0)=0

拐点第一充分条件：f(x)二阶可导，f''(x0)=0，若f''(x0)左右两侧异号，（x0，f(x0）为拐点，反之同号则不为拐点

拐点第二充分条件：f(x)三阶可导，且f''(x0)=0；若f'''(x0)≠0，则（x0，f(x0）为拐点，反之=0则不能判断

曲线渐近线

弧微分与曲率

f(x)在(a,b)内有连续导数，则弧微分ds=(√1+(y')^2)dx

f(x)有二阶导，曲率K=|y''|/(1+(y')^2)^2/3 ; 曲率半径p=1/K

第四章不定积分

一般形式

∫f(x)dx=F(x)+C

基本公式：看笔记

常用的三种变量代换

（1）被积函数含√a^2-x^2,令x=asint or acost

（2）被积函数含√a^2+x^2,令x=atant

被积函数含√x^2-a^2,令x=asect

cot^2x=csc^2x-1

第五章定积分与反常积分

定积分存在的充分条件

若f(x）在[a,b]上连续，则定积分a-bf(x)dx必定存在。

若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则定积分a-bf（x）dx必定存在

若f(x）在[a，b]上只有有限个第一类间断点，则定积分a-bf(x)dx必定存在

定积分几何意义

表面积；若在[a,b]内有负有正，结果为正面积减负面积

定积分性质

不等式性质

（1)若在区间[a,b]上f(x)≤g(x),则定积分f(x)≤定积分g(x)

（2)若M及m分别是f(x）在[a,b]上的最大值和最小值：则m（b-a）≤∫a-bf（x）dx≤M（b-a）

中值定理

若f（x）在[a,b]连续，则平均数f（z）=1/(b-a)∫(a~b)f（x）dx

积分上限的函数

定积分计算

反常积分

无穷区间上的

（1）极限存在则收敛，反之发散

（2）f(x)为(-♾️~b)上连续函数，可这样定义反常积分

（3）f(x)在(-♾️~+♾️)连续，可这样定义反常积分；口诀：都收则收，一发散则发散

无界函数的

瑕点：无界点

（1）极限存在收敛，反之发散

（2）反常积分定义：函数f(x)在[a,b)上连续，b为瑕点，可定义反常积分：

（3）设函数f(x）在[a，b]上除点c(a<c<b)外连续，点c为函数f(x）的瑕点。可得反常积分：

第六章定积分的应用

平面图形的面积

旋转体体积

曲线弧长

旋转体侧面积

第七章微分方程

基本知识

1.含未知函数的导数或微分的方程称微分方程

2.微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶为微分方程的阶

通解：任意常数个数与微分方程阶数相同

特解：不含任意常数的解

积分曲线：方程的一个解在平面上对应一条曲线

一阶微分方程 y'=f(x,y)

可分离变量微分方程

第八章多元函数微分学

多元函数极限z=f(x,y)

偏导数

偏导定义

高阶偏导

全微分

关系图

多元函数微分法

复合函数微分法

隐函数微分法

多元函数极值与最值

极值必要条件：设z=f(x,y)在点(x1,y1)存在偏导，且该点为极值点，则f'x(x1,y1)=0，f'y(x1,y1)=0

极值充分条件：z=f(x,y)在点(x1,y1)存在二阶连续偏导，且f'x(x1,y1)=0，f'y(x1,y1)=0，记：

第九章二重积分

几何意义：

性质

不等式性质

1.若在D上f(x,y)<=g(x,y),则∫∫f(x,y)da<=∫∫g(x,y)dα

2.若在D上m<=f(x,y)<=M,则mα<=∫∫f(x,y)dα<=Mα,α为区域D的面积

3. | ∫∫f(x,y)dα | <=∫∫ | f(x,y) | dα

中值定理

设函数f(x,y)在闭区间D上连续，α为区域D的面积，则在D上至少存在一点(a,b),使得∫∫f(x,y)dα = f(a,b)α

二重积分计算

利用直角坐标计算

利用极坐标计算

利用函数奇偶性计算

关于x有奇偶性

关于y有奇偶性

利用变量的轮换对称性计算

高等数学知识点思维导图

U380613324

0.09

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第一章 函数 极限 连续

第二章 导数与微分

第三章 微分中值定理及导数应用

第四章 不定积分

第五章 定积分与反常积分

第六章 定积分的应用

第七章 微分方程

第八章 多元函数微分学

第九章 二重积分