6. 导数和微分思维导图

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2024-08-18

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高阶导数

微分

导数

导数微分，函数连续性，求导法则等内容讲解

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思维导图大纲

1. 函数在一点的连续性

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2. 导数和微分

15世纪文艺复兴以后的欧洲，资本主义逐渐发展，采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、

远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题。其中有两类问题

导致了导数概念的产生：（1）求变速运动的瞬时速度;（2）求曲线上一点处的切线。这两类问题都

归结为变量变化的快慢程度，即变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，

分别给出了导数的概念。

2.1 瞬时速度

设一质点作直线运动, 质点的位置s 是时间t 的函数, 即其运动规律是s = s(t),则在某时刻 t0及邻近时刻t 之间的平均速度是

当t 越来越接近t0时，平均速度就越来越接近t0时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限

存在时, 这个极限就是质点在t0时刻的瞬时速度.

2.2 切线的斜率

需要寻找曲线y = f (x)在其上一点P(x ,y )处的切线PT. 为此我们在P 的邻近取一

点Q ,作曲线的割线PQ ，这条割线的斜率为

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设想一下,当动点Q 沿此曲线无限接近点P 时，k的极限若存在，则这个极限

会是什么呢？

答: 它就是曲线在点P 的切线PT 的斜率.

上述两个问题的实际意义完全不同，一个是物理学中的瞬时速度，一个是几何学中的切线斜率。但从数量关系来看，它们有着完全相同的数学结构—函数的改变量与自变量改变量之比的极限.

上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同一类型的数学问题：

求函数f 在点x0处的增量

之比的极限. 这个增量比称为函数f 关于自变量的平均变化率，增量比的极限(如果存在) 称为f 在点

x0 处关于x 的瞬时变化率(或简称变化率).

定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果极限

存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在x0 的导数，记作

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2.3 有限增量公式

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2.4 Koch雪花曲线

python 1834年，捷克数学家Bolzano（波尔查诺）给出了一个不可导的连续函数的例子，但他的工作在当时并不为人们所知.因此现在常常提到的例子是1872年由Weierstrass提出的著名的处处连续处处不可导的函数.由于这个例子涉及一些其它数学概念，因此在这里我们举一个较为直观的曲线的例子，虽然曲线和函数有区别，但本质是相通的. 1904年，瑞典数学家科赫（Koch）做出一雪花曲线.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，就得到“Koch雪花曲线”

.\media\雪花1.png

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Koch雪花曲线有趣的事实是：它是连续曲线，但在每一点上都没有切线！雪花的周长是无界的，而面积有界．不要以为雪花曲线仅仅是人脑想出来的一种“病态”曲线，科学家们发现，这类曲线能应用于研究自然界的许多现象，例如地球大陆的海岸线等.这门新兴的数学学科称为分形．

2.5 导函数

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称

如果f(x)在(a,b)内

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。

函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′(x)。