高中三年数学冲刺的52个知识点总结（中）思维导图

花房姑娘

2023-03-14

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高中三年数学冲刺的52个知识点总结（中）

资料

高中数学知识点总结

高中三年数学冲刺的52个知识点总结（中）思维导图中，有21个知识点是关于数学公式的，包含a+b+c的平方的展开式中项数的计算方法、圆外一点到圆心距离、和含ln的不等式的解决思路等，另外有一些爆强定理，例如椭圆的离心率公式、和差化积公式。还有一些易错点需要注意，比如奇偶函数的性质，最后还介绍了一个强定理，即直观图的面积是原图的根号2/4倍，以上是这个模板中的重要

思维导图大纲

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高中三年数学冲刺的52个知识点总结（中）思维导图模板大纲

21、超强定理

(a+b+c)²n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+22，n+2在下，2在上

22、转化思想

切线长l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

23、对于y²=2px

过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。

爆强定理的证明：对于y²=2px，设过焦点的弦倾斜角为A

那么弦长可表示为2p/〔(sinA)²〕，所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)²]

所以求和再据三角知识可知。

(题目的意思就是弦AB过焦点，CD过焦点，且AB垂直于CD)

24、关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25、关于解决证明含ln的不等式的一种思路

举例说明：证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)

把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。

解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，

那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1/x的图。

an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。

注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。

26、爆强简洁公式

向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。

记忆方法：在哪投影除以哪个的模

27、说明一个易错点

若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕

同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a)=f(-x+a) 牢记

28、离心率爆强公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2，两腰角为M，N

29、椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。

比如x²/4+y²=1求z=x+y的最值。

解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

30、仅供有能力的同学参考的爆强公式

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

积化和差

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

31、强定理

直观图的面积是原图的√2/4倍。

32、三角形垂心爆强定理

(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心，H为垂心)

(2)若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

33、维维安尼定理

正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值，这定值等于该三角形的高。

34、强思路

如果出现两根之积x1x2=m，两根之和x1+x2=n

我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数

再利用△大于等于0，可以得到m、n范围。

35、常用结论

过(2p，0)的直线交抛物线y²=2px于A、B两点。

O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度

36、强公式

ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。

举例说明：ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)<1(n≥2)

证明如下：令x=1/(n²)，根据ln(x+1)≤x有左右累和右边

再放缩得：左和<1-1/n<1证毕!

37、函数y=(sinx)/x是偶函数

在(0，派)上它单调递减，(-派，0)上单调递增。

利用上述性质可以比较大小。

38、函数

y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减。

另外y=x²(1/x)与该函数的单调性一致。

39、几个数学易错点

(1)f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件

(2)研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称

(3)不等式的运用过程中，千万要考虑"="号是否取到

(4)研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否需要分项!

40、一个美妙的公式

已知三角形中AB=a，AC=b，O为三角形的外心，

则向量AO×向量BC(即数量积)=(1/2)[b²-a²]

证明：过O作BC垂线，转化到已知边上

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高中三年数学冲刺的52个知识点总结（上）

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