容斥原理听上去很高深的一个"玩意",其实通俗点理解就是在求解一个问题时,发现有部分被重复加了,那么就把重复部分减去,如果少加了,那么就把那部分补上。其实也就是这样。
两集合的容斥关系公式:A鈭狟=A+B-A鈭〣。 如果被计数的事物有A、B两类。那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和=A类元素个数+属于B类元素个数-既属于A类又属于B类的元素个数。孩子如果还是很难搞清这些关系,那么家长可以用文氏图来给孩子讲解,直观很多。
三个集合的容斥关系公式:A鈭狟鈭狢=A+B+C-A鈭〣-A鈭〤-B鈭〤+A鈭〣鈭〤。 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-既是A类又是B类元素的个数-既是B类又是C类元素的个数-既是A类又是C类元素的个数+同时是A类B类C类元素的个数。
【例1】 篮子里有苹果和梨两种水果若干个,将这些水果分发给13人,每人最少拿一个,最多拿两个不同的水果。已知有9个人拿到了苹果,有8人拿到了梨,最后全部分完。那么,有( )人只拿到了苹果。
第二步,根据二集合容斥问题公式,可得9+8鈭�13=4,表示有4个人两种水果都拿到了,那么只拿苹果的有9鈭�4=5人。因此,选择B选项。
【例2】 有关部门对120种抽样食品进行化验分析,结果显示,抗氧化剂达标的有68种,防腐剂达标的有77种,漂白剂达标的有59种,抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种,防腐剂和漂白剂都达标的有43种,抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种,三种食品添加剂都达标的有30种,那么三种食品添加剂都不达标的有( )种
第一步,本题考查容斥问题中的三集合标准型容斥原理。
第二步,按照三集合标准型容斥原理公式,直接设三种食品添加剂都不达标的为x种,列出方程:68+77+59-54-43-35+30+x=120,解得x=18。因此,选择E选项。
【拓展】三集合标准公式:(表示都满足,表示都不满足)