所谓插空法就是题目当中要求某几个元素"不相邻"、"不相连"或"不在一起"时,可以优先安排其他元素,再将要求不相邻的元素插入已经安排好的元素的间隙或者两端即可。下面小编以两道题目为例,进一步说明如何使用插空法。
【例题1】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧,每侧种植9棵,要求每侧的柏树数量相等且不相邻,且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?( )
【解析】排列组合问题。题目当中要求"每侧的柏树数量相等且不相邻",满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树3棵,松树6棵,分步进行,先安排一侧再安排另一侧,采用插空法。优先安排6棵松树,因为完全相同,所以有一种方法,再将3棵柏树插入空中,因为松树要在两端,所以共5个空,则方法数有种,两侧都安排分步共10脳10=100种方法。
【例题2】某兴趣组有男女生各5名,他们都准备了表演节目。现在需要选出4名学生各自表演1个节目,这4人中既要有男生、也要有女生,且不能由男生连续表演节目。那么,不同的节目安排有( )种。
【解析】排列组合问题。要求4名学生且既要有男生、也要有女生,则满足要求的情况有3女1男、2男2女两种情况,第一种情况男生只有一个,则直接选出候选者排序即可,有种。第二种情况男生两个且不连续,满足插空法使用条件,选出候选者先安排女生,即种,分类进行,相加共2400种方法。
由此可见,求解排列组合题目时,当题干满足插空法适用题型时,可以应用该方法,能够达到事半功倍的效果。使用插空法的同时注意考虑,题干当中到底用排列还是组合取决于是否需要考虑顺序,例题1中因为元素相同,所以用组合即可,例题2中因为安排不同的人表演节目,需要考虑顺序,用排列。