相似图形的尺度扩大理论:若将一个图形尺寸扩大为原来的N倍,对应角度不变;对应周长变为原来的N倍;面积变为原来的饾憗2倍;体积变为原来的饾憗3倍。
几何问题中有些题目用基本公式解题非常麻烦,如果可以用相似图形的尺寸扩大理论去解题,题目就会变得非常简单,比如下面这两个题目。
【例1】一块三角形农田ABC(如下图所示)被DE、EF两条道路分为三块。已知BD=2AD,CE=2AE,CF=2BF,则三角形ADE、三角形CEF和四边形BDEF的面积之比为:( )
A.1:3:3 B.1:3:4 C.1:4:4 D.1:4:5 【答案】C
【解析】第一步,本题考查几何问题,属于几何特殊性质类。
第二步,由BD=2AD,CE=2AE,CF=2BF,则DE∥BC,EF∥AB,即四边形BDEF是平行四边形,可得BD=EF,DE=BF。△ADE、△EFC和△ABC相似,符合相似图形的尺寸扩大理论,
△EFC的边长是△ADE的2倍,面积是△ADE的22=4倍,则△ADE和△CEF的面积之比是1:4。由BD=2AD,可知AB=3AD,△ABC的边长是△ADE的3倍,面积是△ADE的32=9倍,
则三角形ADE、三角形CEF和四边形BDEF的面积之比为:1:4:4。
【例2】某甜品店出售一种规则球形的甜品,该甜品由内部中空的球形面皮(每立方厘米成本0.4元)和实心的芝士球(每立方厘米成本1元)组成。无论甜品大小规格如何,其中的芝士球半径始终为甜品半径的四分之三。已知制作半径为1厘米的该甜品成本约为2.73元,那么要制作半径为2厘米的该甜品,成本约为:
【答案】D
【解析】第一步,本题考查几何问题,属于几何特殊性质类。
第二步,球体体积之比等于半径之比的立方,半径2厘米甜品的体积为半径1厘米甜品体积的2鲁=8倍,因此制作半径为2厘米甜品的成本为半径1厘米甜品的8倍。
从上面这两个例题就可以看出,有些题目如果用基础公式去解题,会非常复杂,尤其第二道题目,但是如果用相似图形的尺寸扩大理论解题就会大大减少计算量,加快做题速度。