2022国考行测备考数量关系之赋零法巧解三元一次方程问题思维导图

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2023-03-03

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国考行测备考干货

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2022国考行测备考数量关系之赋零法巧解三元一次方程问题详情：

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思维导图大纲

例1.(2009 国考)甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了4 3元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?

A. 21元 B. 11元 C. 10元 D. 17元

解析：设签字笔、圆珠笔和铅笔的单价分别为x、y、z，可得两个方程3x+7y+z=32①、4x+10y+z=43②，求x+y+z的和是多少。两个方程三个未知项是无法直接确定x、y、z的具体数值的，提供两种常见思路。

解法一：凑系数法，因为我们要求的是x+y+z的整体，所以每一项的系数都应该为1，那么我们优先解决系数最复杂的一项，通过观察后发现，两个方程系数最复杂的项应该是x的系数，系数分别为7和10，接下来把7和10的倍数分别枚举下来，分别为7、14、21、28、35和10、20、30、40等，观察后发现他们的公倍数只有21减去20为1，因此我们将①脳3减去②就可以将x、y、z的系数变为1，因此最后的结果为32脳3-43脳2=10元，选择C选项。

解法二：赋零法，首先我们分析x、y、z里系数最复杂的未知项，显然是x，令x=0，那么两个方程就变成了3x+z=32、4x+z=43，两式相减可以求得x=11，然后代入求得z=-1，所以x+y+z=11+0-1=10，选C选项。

分析两个方法后我们发现，明显赋零法解题更加方便简洁。凑系数法虽看似方便，但在实际解题过程中，在将系数凑为1时往往会遇到困难，并没有赋零法解题方便。那么小伙伴就会想，是不是所有的三元一次方程问题都可以这样求解呢?肯定不是的，接下来我们看两个反例。

例2.(2014 吉林)某学校组织一次教工接力比赛，共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的职工，为设计获得各级奖励的人数，制定两种方案：若一等奖每人发5件，二等奖每人发3件，三等奖每人发2件，刚好发完奖品;若一等奖每人发6件，二等奖每人发3件，三等奖每人发1件，也刚好发完奖品，则获得二等奖的教工有多少人?

A.6 B.5 C.4 D.3

解析：设一等奖、二等奖和三等奖的教工人数分别为x、y、z人，可得两个方程5x+3y+2z=25①、6x+3y+z=25②。我们发现此题需要求解的是y的值，那么明显将x或z赋予不同的值，求解出来的结果是不一样的，因此不能用赋值法。此题的正确解法应该是将不定方程组转化为不定方程来求解。②脳2-①=7x+3y=25，通过代入排除可确定y=6，因此选择A选项。

此题不能用赋零法的原因在于求解的只是y的值，并不是x+y+z的整体。我们再来看一个例子。

例3. 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人3支，三等奖每人发2支。后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人4支，三等奖每人1支，总共有多少人获奖?

A.5 B.6 C.7 D.8

解析：设一等奖、二等奖和三等奖的学生人数分别为x、y、z人，可得两个方程6x+3y+2z=22①、9x+4y+z=22②。通过观察后我们求的是整体，我们先用赋零法试一下。因为x的系数最复杂，因此令x=0，可得5y=22，y=4.4，代入解得z=4.4，此时x+y+z=8.8不是整数，但人数必须要是整数，很明显不符合实际，因此也不能使用。看到这各位小伙伴可能会想，这也不能用，那也不能用，那学了干啥咧!各位小伙伴别着急，我们先来看这道题的正确解法，将②脳2- ①=12x+5y=22，赋值代入可得唯一解x=1、y=2，代入得z=5，所以总人数=x+y+z=8，因此选择D选项。

此题虽然求的是整体，但是由于要求x、y、z都必须是整数，所以也不能用赋零法。

给大家总结分析一下，在解决三元一次方程时，什么情况下能使用赋值法。首先要求求的必须是整体(x+y+z的总和)，其次是要求求的量没有整数要求的限制，常见的比如金钱就不要求必须为整数，但具体人数就必须为整数。简单分析一下原理，题目要求我们求解的是x+y+z的总和或者x+y+z的整数倍，那么x+y+z的结果必然为定值，它在实数的范围内有无数组解，你可以尝试令x为任意值，在实数范围内总能找到一组y和z的值，满足x+y+z等于定值，但是如果限制整数那就不一定能找到满足条件的y和z的值。

接下来再把今天的知识点梳理为以下思维导图，方便大家理解。

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