高等数学之线代行列式思维导图

坤坤脑残粉

2023-02-23

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思维导图

高等数学之线代行列式

高等数学

介绍高等数学之线代行列式

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思维导图大纲

行列式概念

解多元方程产生的行列式(二三阶行列式)

设有式子

a1x + b1y = c1 (1)

a2x + b2y = c2 (2)

(1)b2 - (1)b1

a1b2x + b1b2y - a2b1x - b1b2y = c1b2 - c2b1

(a1b2-a2b1)x = c1b2 - c2b1

(1)a2 - (2)a1

(a2b1 - a1b2)y = c2a2 - c2a1

得到行列式

| a1 b1 | | a2 b2| =

a1b2 - a2b1

当其不为0才能算x

所以说

x = | c1 b1 | | c2 b2| ----------- | a1 b1 | | a2 b2|

x = (c1b2-c2b1)/(a1b2 - a2b1)

y = | a1 c1 | | a2 c2| ----------- |a1 b1| a2 b2|

y = (c2a2 - c2a2)/(a2b1-a1b2))

三阶行列式

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 这个式子称为完全展开式

斜着找做加减,向右斜走加法，左斜做减法正对角线减负对角线

只在2 3阶有用

高阶展开

|a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |a31 a32 a33|

不同行不同列元素乘积的代数和

行列式一行为0行列式为0，因为每一行都要参加运算，所以这行列式肯定是0了

逆序，逆序数

如果一个大的数在小的数前面，称这两个数构成逆序

一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数

用C(j1,j2,...jn)表示排列j1,j2,...jn的逆序数

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列，否则为奇排列

例

C(1 3 2)

逆序数= 0(1 3) + 1(3 2)

奇排列

C(2 4 3 1)

逆序数 = 1(2 1) + 2(4 3)(4 1) + 1(3 1) = 4

偶排列

1,2,3,4,5,.....n

自然数逆序数为0，偶排列

n阶行列式

(j1,j2....jn)∑(-1)^C(j1,j2,,,,jn) a1j1 a2j2....anjn

不同行不同列的几个元素的乘积的代数和，当j1,j2.....jn是偶排列时，该项前面带正号，当j1,j2....jn是奇排列是，带负号

a12 a23 a31 -> C(2 3 1) = 2 偶排列带正号

a13 a22 a31 c(3 2 1) = 2 + 1 = 3 奇排列带负号

上下三角行列式为对角线乘积

|a11 a12 a13 a14 | |0 a22 a23 a24 | |0 0 a33 a34| |0 0 0 a44|

a11a22a33a44

|0 0 0 a| |0 0 b 0| |0 c 0 0| |d 0 0 0|

得到逆序式子为C(4 3 2 1) = 3(43,32,41) + 2(32,31) + 1(21) = 6->偶排列

所以为 abcd

此时对角线法则失效

多个

行列式性质

1.经过转置行列式的值不变

|1 3 |= |1 5| |5 7| |3 7|

基于向右的对角线11,22,33....转置

2.某行的公因数可提

|.........................................| |kan1, kan2.....kann| = |.........................................|

|.................................| k|an1, an2.....ann| |................................. |

3.行列式两行互换，行列式的值变号

|.................................| |ai1, ai2...........ain| = |.................................| |aj1 aj2............ajn|

|.................................| ---(负的) |aj1, aj2...........ajn| |.................................| |ai1 ai2............ain|

两行/列相同 =》行列式的值D=0

两行、列成比例 =>D=0

4.如果行列式某行每一项都是两个数的和，则可以把行列式拆成两个行列式之和

|a1+b1 a2+b2 a3+b3| | c1 c2 c3 | = | d1 d2 d3 |

|a1 a2 a3| |b1 b2 b3| |c1 c2 c3| + |c1 c2 c3| |d1 d2 d3| |d1 d2 d3|

5.吧某行的k倍加到另外一行，行列式的值不变

|a1 a2 a3| |b1 b2 b3| = |c1 c2 c3|

| a1 a2 a3 | |b1+ka1 b2 + ka2 b3 + ka3| | c1 c2 c3 |

行列式按行(列)展开公式

余子式

去掉i行j列的行列式

aij的余子式为Mij

代数余子式

余子式带符号

Aij = (-1)^(i+j) Mij

|1 -3| |5 0|

代数余子式 A12 = (-1)^(1+2)5 = -5

代数余子式可以用来分解行列式

例如

三阶行列式

|a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |a31 a32 a33|

a11a22a33 - a11a23a32 + a12a23a31 - a12a21a33 + a13a21a32 - a13a22a31

a11(a22a33 - a23a32) + a21[-(a12a33 - a13a32)] + a31(a12a23-a13a22)

a22a33 - a23a32就算是代数余子式了

即原式 = a11A11 + a12A12 +a13A13

即行列式可以任意按行按列化简展开

ai1Ai1 + ai2Ai2 +.....+ainAin

a1jA1j + a2jA2j +.....+anjAnj

某一行的代数余子式和与其不在一行的元素乘积相加为0 a11A21 + a12A22 + A13A33 = 0

定理

1.n阶行列式等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和

2. 某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和等于0

Aij和aij无关，aij多少都不关Aij啥事

所以说可以得到替换Aij中的ij后的另一个行列式其Aij的值仍然等于原来的行列式，而把替换后的值更改为前一行列式的某一行元素，那么这个行列式的值即为0，而这个行列式的结果也是某一行与另一行代数余子式乘积之和

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