高等数学之线代矩阵思维导图

坤坤脑残粉

2023-02-23

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思维导图

高等数学之线代矩阵

高等数学

高等数学之线代矩阵思维导图涵盖了伴随矩阵、可逆矩阵等，伴随矩阵可用于计算矩阵的逆，且具有一些性质，如伴随矩阵的转置等于其自身，可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵，且逆矩阵唯一，对于某些矩阵，如分块矩阵，可使用运算规则，如加减法、乘法、转置和逆矩阵。简化计算，本模板还介绍了求解逆矩阵的几种方法，例如初等变换法和分块矩阵法，方阵的行列式性质，例如行列式相似、有同样的特征多项式和初等因子。

思维导图大纲

伴随矩阵，可逆矩阵

伴随矩阵

A的伴随矩阵A*

[A11 A21 .....An1 ] [A12 A22... An2 ] [.... ] [An1 An2....Ann]

Aij是A的代数余子式

AA* = A*A = |A|E

[a11 a12 ] [a22 -a12] [a21 a22][-a21 a11 ]

[a11*a22 + a12*-a21 a11 *-a12 + a12*a11] [a21*a22 - a22*a21 a21*-a12 + a22*a11]

[a11a22 - a12a21 0] [0 a22a11-a21a12]

[ |A| 0 ] [ 0 |A|]

|A|[1 0] [0 1]

二阶矩阵的伴随矩阵

主对角线互换，副对角线变号

公式

AA* = A*A = |A|E

A* = |A|A^-1

|A|是行列式

(kA)* = k^(n-1)A*

(A*)^T = (A^T)*

|A*| = |A|^(n-1)

(A*)* = |A|^(n-2)A

(A*)^-1 = (A^-1)* = 1/|A|A

A^-1 = 1/|A|A*

r(A*) =

n r(A) = n

1 r(A) = n-1

0 r(A)<n-1

A^-1 = 1/|A|A*

可逆矩阵 A^-1

对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 AB = BA = E, 那么称A是可逆的，B是A的逆矩阵

如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的，记为A^-1

设不唯一，即B,C使得BA = E CA = E B = BE = B(CA) = B(AC) = (BA)C = EC = C

必要性

如果A可逆-》|A|≠0

AA^-1 = E 即 |AA^-1| = |E| 那么 |A||A^-1| = 1 |A|不为0

充分性

当|A|≠0 由于 AA* = A*A = |A|E

=> AA*/|A| = A*/|A|A = E

设 A*/|A| =>B

即 AB = BA = E

所以 1/|A|A* = A^-1

A,B是n阶矩阵，如果AB= E 则A^-1 = B

如果A可逆，那么A^-1也可逆

(A^-1)^-1 = A

如果A可逆，且k≠0，则kA可逆

(ka)^-1 = 1/kA^-1

如果A，B可逆，则AB也可逆，且

(AB)^-1 = B^-1A^-1

如果A可逆，则A^T也可逆，且

(A^T)^-1 = (A^-1)^T

求逆矩阵的方法

方法一若|A|≠0 则 A^-1 = 1/|A|A*

方法二初等变换法 (A | E) 初等行变换 ---> (E | A^-1)

方法三用定义求B 使得 AB = E 或者 BA = E 则 A可逆，且A^-1 = B

方法四用分块矩阵

设BC都是可逆矩阵，则

[B 0]^-1 [B^-1 0 ] [0 C] = [0 C^-1]

[0 B] ^ -1 [0 C^-1] [C 0] =[B^-1 0 ]

技巧，求某式子的逆，凑出所求式子*B=E即可得到对应的逆，E是可以随意附着的，毕竟就是1

分块矩阵

十字分块

保证主对角线或者副对角线上能够有行列式，即方形区域

出现一块一块的矩阵

拉普拉斯展开

乘法 AB，A^n, A^-1 使用

按列分块

出现一列一列的矩阵

方程组解

按行分块

出现一行一行的矩阵

向量，秩有关

分块矩阵的运算

加减法

[A1 A2] [B1 B2] [ A1 + B1 A2 + B2] [B1 B2] +[B3 B4] = [A3 + A3 A4 + B4]

乘法

[A B][X Y ] [AX + BZ AY+BW ] [C D][Z W] = [CX + DZ CY + DW]

转置

[A B]^T [A^T C^T ] [C D] = [C^T D^T]

逆矩阵

[B 0]^-1 [B^-1 0] [0 C] = [0 c^-1]

[0 B]^-1 [0 C^-1] [C 0] = [B^-1 0]

分块表示

[a11 a12 a13] [b1] [c1] [a21 a22 a23] *[b2] = [c2] [a31 a32 a33] [b3] [c3]

a11b1 + a12b2 + a13b3 = c1

a21b1 + a22b2 + a23b3 = c2

a31b1 + a32b2 + a33b3 = c3

即C=AB的行向量可以由B的行向量线性表达

列向量同理

如果A可逆那么 AB = C -> A^-1C = B

如果B可逆那么 AB=C -> CB^-1 = A

分块求解

设有AB = C 即 A(ß1,ß2,ß3) = (γ1,γ2,γ3)

那么有 Aß1 = γ1 Aß2=γ2 Aß3 = γ3

即ß1 为 Ax = γ1的解

即ß2 为 Ax = γ2的解

即ß3 为 Ax = γ3的解

当C为0矩阵，那么γ全部替换成0求解即可，这时ß1，ß2，ß3都是Ax = 0的解

方阵A的行列式

公式性质

|A^T| = |A|

|kA| = k^n|A| n为A的阶数

注意n次方不能丢

|AB| = |A||B|

|A^2| = |A|^2

|A*| = |A|n-1

|A^-1| = 1/|A|

|A 0| |A C| |* B| =|0 B| = |A||B|

|0 A| |0 A| |C A | |B * | = |B * | = |B 0| = (-1)^mn|A||B|

如果A~B (A和B相似)

则|A| = |B|

|A + kE| = |B + kE|

行列式相似

二者秩相等

二者行列式值相等

二者迹数相等

有同样的特征值

同样的特征多项式

同样的初等因子

注意一般|A + B| ≠ |A| + |B|

可以通过单位矩阵变形求得

也可以转换合并同类项

思维导图模板大纲

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