一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c
a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.则称y为x的二次函数。
一般式：y=ax^2+bx+ca，b，c为常数，a≠0
顶点式：y=ax-h^2+k[抛物线的顶点Ph，k]
交点式：y=ax-x₁x-x₂[仅限于与x轴有交点Ax₁，0和Bx₂，0的抛物线]
h=-b/2ak=4ac-b^2/4ax₁,x₂=-b±√b^2-4ac/2a
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴即直线x=0
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P-b/2a，4ac-b^2/4a当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a
特别地，二次函数以下称函数y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程以下称方程，即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2，y=ax-h^2，y=ax-h^2+k，y=ax^2+bx+c各式中，a≠0的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
当h>0时，y=ax-h^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=ax-h^2+k的图象;
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=ax-h^2+k的图象;
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=ax-h^2+k的图象;
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=ax-h^2+k的图象;
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+ca≠0的图象，通过配方，将一般式化为y=ax-h^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+ca≠0的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是-b/2a，[4ac-b^2]/4a.
3.抛物线y=ax^2+bx+ca≠0，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
2当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点Ax₁，0和Bx₂，0，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0a<0，则当x=-b/2a时，y最小大值=4ac-b^2/4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.
1当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
2当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=ax-h^2+ka≠0.
3当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=ax-x₁x-x₂a≠0.
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
