“相交线与平行线”的知识点思维导图

冬景

2023-05-16

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思维导图

“相交线与平行线”的知识点

平行相交

介绍“相交线与平行线”的知识点

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思维导图大纲

一、相交线

1.邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角。

注意点：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2.垂线

⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：AB⊥CD，垂足为 O

⑵垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)

⑶垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

3.垂线的画法

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4.点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。应该结合图形进行记忆。

如图，PO⊥AB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念。分析它们的联系与区别。

⑴垂线与垂线段

区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)

⑵两点间距离与点到直线的距离

区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。

⑶线段与距离

距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

二、平行线

1.平行线的概念

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线b 互相平行，记作 a ∥b 。

2.两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3.平行公理

平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

4.平行公理的推论

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才能得出结论，这两条直线都平行。

5.三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图，直线 a, b 被直线 l 所截。

①∠1 与∠5 在截线l 的同侧，同在被截直线 a, b 的上方，叫做同位角（位置相同）

②∠5 与∠3 在截线l 的两旁（交错），在被截直线 a, b 之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

③∠5 与∠4 在截线l 的同侧，在被截直线 a, b 之间（内），叫做同旁内角。

④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U” 型。

6.如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

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