圆的周长公式周长怎么算出来的思维导图

清风和酒

2023-04-24

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圆的周长公式是什么

周长怎么算出来的

圆的周长

怎么算

高考对于高三学生来说也是人生中的一次重大的考验，为了帮助学生们更好地复习高考数学，以下是小编为大家收集的关于圆的周长公式的相关内容，供大家参考，希望对大家有所帮助!圆的周长计算方法圆的周长=直径×圆周

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思维导图大纲

圆的周长计算方法

圆的周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率

字母公式：C=πD=2πR

公式说明：

π是圆周率，约等于3.14，D是圆的直径，R是圆的半径

应用实例：

圆的直径是6米，周长C=πD=3.14×6=18.84米

圆的半径是3米，周长C=2πr=2×3.14×3=18.84米

圆相关公式有哪些

面积公式

1.圆的面积：S=πr?=πd?/4

2.扇形弧长：L=圆心角(弧度制) __ r = n°πr/180°(n为圆心角)

3.扇形面积：S=nπ r?/360=Lr/2(L为扇形的弧长)

4.圆的直径： d=2r

5.圆锥侧面积： S=πrl(l为母线长)

6.圆锥底面半径： r=n°/360°L(L为母线长)(r为底面半径)

周长公式

圆的周长：C=2πr 或 C=πd

圆的方程

1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

特别地，以原点为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：

(1)当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(√D^2+E^2-4F)/2为半径的圆;

(2)当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2);

(3)当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。

圆的面积和体积计算公式

1、计算圆的面积公式是：半径×半径×3.14。

2、计算圆的体积公式是：半径×半径×3.14×高。

圆周率π介绍

后来的数学家们就想办法算出这个π的具体值，数学家刘徽用的是"割圆术"的方法，也就是用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长逼近圆周长，求得圆接近192边型，求得圆周率大约是3.14。

割圆术的大致方法在中学的数学教材上就有。然而必须看到，它很大程度上只是计算圆周率的方法，而圆周长是C=π__d似乎已经是事实了，这一方法仅仅是定出π的值来。仔细想想就知道这样做有问题，因为他们并没有从逻辑上证明圆的周长确实正比于直径，更进一步说他们甚至对周长的概念也仅是直观上的、非理性的。

什么是圆周率

割圆术的大致方法在中学的数学教材上就有。然而必须看到，它很大程度上只是计算圆周率的方法，而圆周长是C = π __ d似乎已经是事实了，这一方法仅仅是定出π的值来。

仔细想想就知道这样做有问题，因为他们并没有从逻辑上证明圆的周长确实正比于直径，更进一步说他们甚至对周长的概念也仅是直观上的、非理性的。

圆的定义及相关概念

1、圆的一些概念

(1) 圆的定义：在平面中，线段$OA$绕其固定端点$o$旋转一个圆，由另一端点$a$形成的图形称为圆。固定端点$o$称为圆心，线段$OA$称为半径。以点$o$为中心的圆记录为"$⊙o$"，读作"圆$o$"。

此外，圆心为$o$、半径为$R$的圆可以看作是到固定点$o$的距离等于固定长度$R$的所有点的集合。

(2) 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。

(3) 直径：穿过圆心的线叫做直径。

(4) 圆弧：圆上任意两点之间的部分称为圆弧。以$a$和$B$结尾的弧标记为$/offset\frown AB，阅读"arc$AB$"或"arc$AB$"。

圆的任何非直径弦将圆分成两个不同长度的弧。大于半圆的弧称为上弧，一般用三点表示。小于半圆的弧称为次弧。

(5) 半圆：圆的任意直径的两端将圆分成两个弧，每个弧称为半圆。

(6) 等圆，等弧：两个可以重合的圆称为等圆。

很容易看出两个半径相等的圆是相等的圆;相反，同一个圆或相等圆的半径是相等的。在同一圆或等圆中，相互重合的弧称为等弧。

2、垂直于弦的直径

(1) 圆的对称性

圆是轴对称的图形，任何直径的直线都是它的对称轴。圆有无数对称轴。

圆也是一个中心对称的图形，它的中心是它的对称中心。

圆也具有旋转不变性。

(2) 垂直直径定理

将弦垂直于其直径平分，并将其面对的两个弧平分。

推论：平分线的直径(不是直径)垂直于弦，平分弦的两个弧。

3、弧、弦、中心角

(1) 中心角：顶点位于圆中心的角称为中心角。

(2) 中心角定理

在同一圆或等圆中，等中心角的弧和弦是相等的。

我们还可以得到以下结果：

① 在同一圆或等圆中，如果两弧相等，则它们相对的圆的中心角相等，它们相对的弦相等。

② 在同一圆或等圆中，如果两个弦相等，则它们相对的圆的中心角相等，上弧和下弧分别相等。

4、圆周角

(1) 圆角的定义：顶点在圆上与圆两边相交的角称为圆角。

(2) 圆角定理：圆弧的圆角等于圆的中心角的一半。

推论：同一弧或等边弧的圆弧角相等。

半圆(或直径)的圆角为直角，90°的圆角为直径。

在同一圆或等圆中，两个圆周角、两个中心角、两个弧和两个弦中的一组量相等，与之对应的其他几组量也相等。

(3) 内接多边形

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，则该多边形称为内接圆，该圆称为该多边形的外接圆。

(4) 内接四边形的性质

圆内接四边形的对角补。

5、点与圆的位置关系

设$⊙o$的半径为$R$，点$p$到圆心的距离为$OP=D$

(1) 点$p$出$⊙o$，$D>;R$。

(2) $⊙o$，$d=R$上的点$p$。

(3) $⊙o$，$D<;R$中的点$p$。

6、三角形外接圆

(1) 不在同一条线上的三个点决定一个圆。

(2) 三角形外接圆的概念：一个圆可以通过三角形的三个顶点形成。这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的中心是三角形三条边的垂直平分线的交点，称为三角形的外中心。

(3) 如何外接三角形

① 确定圆心：三角形两边垂直平分线的交点为圆心;

② 确定半径：从交点到三角形任何顶点的距离就是外接圆的半径。

7、直线与圆的位置关系

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d$。

(1) 交点：直线和圆有两个公共点。这时，我们说直线和圆相交。这条线叫做圆的割线。此时，常用点数为2，$D<;R$。

(2) 切线：直线和圆之间只有一个公共点。此时，我们说直线与圆相切。这条线叫做圆的切线，这一点叫做切点。在这种情况下，公共点数为1，$d=R$。

(3) 分离：直线和圆之间没有共同点。这时，我们说直线和圆是分开的。此时，常用点数为0和$D>;R$。

8、圆的切线

(1) 切线的判定定理

穿过半径外端并垂直于半径的直线是圆的切线。另外，通过圆心并垂直于切线的直线必须通过切点;垂直于切线并通过切点的直线必须通过圆心。

(2) 切线性质定理

圆的切线垂直于它经过的点的半径。

9、切线长度

(1) 切线长度：在圆的切线上通过圆外的一点，该点与切点之间的线段长度称为该点到圆的切线长度。

(2) 切线长度定理：一个圆的两条切线可以从圆外的一点开始画，并且它们的切线长度相等。这一点和连接圆心的线将两条切线之间的夹角平分。

10、切线的确定及其性质的应用

(1) 辅助线做法

利用切线的性质进行计算或论证的常用辅助线是将圆心与切点连接起来，并通过垂直构造直角三角形来解决相关问题。

(2) 直线与圆切线的三种证明方法

① 证明了直线与圆之间存在唯一的公共点。

② 证明了直线穿过半径的外端并与半径垂直。

③ 证明圆心到直线的距离等于圆的半径(即，$d=R$)。

当直线和圆的公共点已知时，通常使用方法2。当直线和圆的公共点未知时，通常使用方法3。

11、三角形内接圆

(1) 三角形内接圆的几个概念

与三角形每边相切的圆称为三角形的内接圆。内接圆的圆心是三角形的三条平分线的交点，称为三角形的圆心。

(2) 三角形内接圆法

确定圆心：三角形两个角的平分线的交点就是圆心。

确定半径：从交点到三角形任意边的距离就是内接圆的半径。

(3) 如果三角形的三条边的长度分别为$a$、$B$、$C$，内接圆的半径为$R$，则三角形的面积为$s=-frac12(a+b+c)r$

12、圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为$R\1$和$R\2(R\1<;R\2)，圆的中心距为$d$。

(1) 两个圆是分开的

① 向外分离：当两个圆没有公共点，而一个圆上的点在另一个圆之外时，称为两个圆的向外分离。现在$D>;R\u1+R\u2 left rightarrow$。没有共同点。

② 包含(包括同心圆)：当两个圆没有公共点，且一个圆上的点在另一个圆内时，称为包含;当两个圆的圆心重合时，称为同心圆。现在，$d=R\u2-R\u下面的公式用来描述1/leftrightarrow$，$d=0/leftrightarrow$的同心圆。没有共同点。

(2) 两个圆相切

① 外接：当两个圆有一个唯一的公共点，除此公共点外，一个圆上的点在另一个圆的外面时，称为两个圆的外接。唯一的公共点称为切点。现在$d=R\u1+R\u2\\leftrightarrow$限定。公共点的数目是1。

② 内接：当两个圆有一个唯一的公共点时，除此公共点外，一个圆上的点在另一个圆内，称为内接的两个圆。唯一的公共点称为切点。现在，$d=R\u2-R\u1\\leftrightarrow$被内切。公共点的数目是1。

(3) 两个圆相交

两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交。此时$r_2-r_1

13正多边形与圆

(1) 正多边形的几个概念

正多边形的外接圆的中心称为正多边形的中心。外接圆的半径称为正多边形的半径。正多边形每边相对的中心角称为正多边形的中心角。从正多边形的中心到一侧的距离称为正多边形的边中心距离。

(2) 正多边形的作图方法

画一个规则的$n$多边形的想法是将圆$n$等分，然后依次连接点以得到正多边形。如果你做一个正六边形，你可以先画一个半径等于已知边长的圆，然后在上面切割得到平分点，再连接起来得到你要做的正六边形。不是所有的规则多边形都可以用尺子来制作。

(3) 正多边形的计算

设正多边形的边数为$n$，半径为$R$，边的中心距为$R$，边的长度为$a$

① 正多边形的内角：$\frac(n-2)·180°n=$$180°-$\frac360°n$。

② 正多边形的中心角：$\frac360°n$。

③ 正多边形半径：$R^2=R^2+\frac14^2美元

④ 正多边形周长：$C=n·a$。

⑤ 正多边形面积：$s=-frac12nar=\压裂12C·r$

14弧长和扇形面积

(1) 弧长公式

在半径为$R$的圆中，由于360°中心角对应的弧长是圆的周长$C=2πR$，因此$n°中心角对应的弧长是$l=2πR·n360$i.e.$l=-压裂nπR180$。

(2) 扇形面积公式

由中心角的两个半径和与中心角相对的弧形成的图形称为扇形。在半径为$R$的圆中，由于与360°中心角相对的扇区面积是圆的面积$s=πR^2$，所以中心角为$n°的扇区面积是$s_扇形=$$πR^2×$\fracn360=$$\fracnπR^2360$。

(3) 圆锥的母线

圆锥体由底部和侧面包围。连接圆锥体顶部和底部圆周上任何点的线段称为圆锥体的母线。

(4) 圆锥的侧向膨胀及其计算

沿母线切割和展平圆锥的侧面很容易，圆锥的展开侧视图是扇形的。

设圆锥的母线长度为$l$，底圆的半径为$R$，则扇形的半径为$l$，扇形的弧长为$2πR$，所以圆锥的边面积为$s圆锥侧=$$\frac12圆锥体的总面积是$s圆锥全=$$πlr+$$πr^2$

2、圆的相关示例

如果$⊙o$的半径为5cm，点$a$和中心$o$之间的距离为4cm，则点$a$和$⊙o$之间的位置关系为___

A.点A$在圆圈外

B.圆上有点a$

C.点a$在圆圈内

D.不确定

答案：C

分析：∵4 cm<;5 cm，即$D<;R$，∵点$a$和$⊙o$在圆圈中。

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