高中数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解思维导图

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2023-04-20

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高中数学转化

思想与逻辑划分思想例题

一、数学解题中转化与化归思想的应用数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去

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思维导图大纲

一、数学解题中转化与化归思想的应用

数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法。

在转化过程中，应遵循三个原则：

1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题;

2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题;

3、直观化原则，即将抽象总是具体化.

策略一：正向向逆向转化

一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.

例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.

A、150 B、147 C、144 D、141

分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.

10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).

策略二：局部向整体的转化

从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.

例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )

A、 B、 C、 D、

分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).

策略三：未知向已知转化

又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.

例3：在等差数列中，若，则有等式

( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.

分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.

二、逻辑划分思想

例题1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求实数 a 取值的集合.

解 A= ：分两种情况讨论

(1)B=￠，此时a=0;

(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：

(i) B={-1}，则 =-1，a=-1

(ii)B={1}，则 =1， a=1.(二级分类)

综合上述所求集合为 .

例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求实数a的取值范围.

例题3、已知，试比较的大小.

【分析】

于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为 .

小结：分类讨论的一般步骤：

(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);

(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;

(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);

(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).

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