概率空间高等数学脑图思维导图

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2023-09-24

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高等数学

概率空间

知识点讲解

高等数学的概率空间全内容知识点讲解

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思维导图大纲

事件的关系运算和σ域

事件的关系

包含

相等

并

A与B至少有一个发生

交

差

互斥

A与B不可能同时发生，AB=∅

对立

事件运算的性质

交换律

结合律

分配律

A（B∪C）=AB∪AC，∩∪可互换

对偶律

长杠变短杠，开口换方向，对n个事件和可列个事件依然成立

幂等律

吸收律

事件列的极限

事件列上极限:{ω：ω属于无穷多个An}

子主题 1

事件列下极限：{ω：ω至多不属于有限个集合An}，下极限是上极限的子集

事件的σ域

根据σ域的定义得出的一些性质

样本空间和空集属于σ域

子主题 1

σ域对求逆运算封闭

对可列交和可列并运算封闭

对有限交和有限并运算封闭

对差运算封闭

证明某集合是σ域

证明三条定义，把已知条件用不同的集合替代

子σ域与域的生成

子σ域

一个集类是σ域的子类，也满足σ域的三条定义

平凡子σ域

{Ω，∅}这个子类

由事件A生成的子σ域

A属于σ域，{Ω，A，Ā，∅}

任意多个子σ域的交也是子σ域

H是σ域的子类，包含H的最小σ域为由H生成的σ域，为σ（H）

由分割生成σ域

σ（A，B）=σ（AB，AB拔，A拔B，A拔B拔）

样本空间

现象

确定性现象（必然现象）

随机现象

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科

随机试验的特征

在同样条件下，试验可以重复进行

有多种结果，每次出现一种结果，出现的结果事先不能断定

可以明确指出试验可能出现的每一种结果

样本点与样本空间

样本点ω

样本空间Ω

表示方法

Ω={ω：ω₁，ω₂，ω₃...ωn}

Ω={ω：ω∈[a,b]}

随机事件

基本事件

由一个样本点组成的单点集：如{ω₁}

不可能事件

空集不包含任何样本点，在任何事件中都不可能发生，但是概率为0的事件不一定是不可能事件

必然事件

Ω包含一切样本点，在每次事件中都必然发生，但是概率为1的事件不一定是必然事件

概率

频率：n次试验中，事件A发生了k次，频率为fn（A）=k/n

概率：lim n→∞fn（A）=P（A）

子主题 1

古典概型及几何模型

古典型试验性质

只有有限个样本点

每个样本点出现的机会均等

常用排列组合公式和模型

n个不同的元素选取r个排列

n个不同的元素选取r个（不排列）

重复排列公式

有放回，n个不同元素，r个方格（不能空），从n个元素中取出1个元素在第一个方格登记后返回，重复操作，直至把r个方格登记完。（因为可以放回，所以每一个方格都可以从n个元素中选一个放进去，即Cn1=n，r个方格就有n^r方种方法）

n^r

不同球占位公式

不放回，n个不同球，r个房间（可以空），将球依次投入房间中，每个球只投一次，每个房间投入的球数不限，不同的占位有rⁿ个

rⁿ

相同球占位公式

房间可空

n个相同球，r个房间，将球投入房间中→等价于：n+r个相同的球，放到r个房间里的每个房间皆不空的相同球占位

每个房间皆不空

n个相同球，r个房间，n>=r，将n球投入房间中，每个房间皆不空的占位，相当于在n个球的n-1个空隙中放r-1个隔板使得它分成r份，放进房间中

超几何分布

有N件产品，其中有M件次品，从中取n件，则恰好取出m件次品的概率：总的样本空间是从N件产品中取n件，共有CNn中，样本点可以理解为从M件次品中取m件，再从剩下的N-M件正常品中取n-m件

几何形

几何形试验特征

样本空间Ω是几何空间中的有限区域

试验中，每个样本点出现的机会均等

会面问题

这类问题一般是两个事件x，y，各有一个原本的范围，将它们看成数轴上x，y的定义域和值域，可以得到一个围成的部分，其面积就是样本空间，再由xy的不等式关系确认直线，这些线和样本空间围成的面积便是样本点

蒲丰投针

平面上画着一簇平行线，每条线之间距离为2a，将长为2l的一根针投在平面上（l<a），求针与某一直线相交的概率：此类题主要是不好表示出样本空间与样本点，要找到能确定针与平行线关系的两个变量，可通过绘图针在线上，针不在线上，针恰好在线上这三种类型来确定变量，之后便好理解了

概率的公理化定义

概率

非负性

规范性

P（Ω）=1

可列可加性（事件两两互斥）

概率性质

不可能事件的概率为0

有限可加性（两两互斥）

P（A拔）=1-P（A）

减法公式

P（A\B）=P(A)-P(AB)

单调性

若AⅽB，则P（A）>=P(B)

连续性

可列可加性另一种表示

定义在σ域上的一个集合函数，满足非负性和规范性，P再满足有限可加性和从下连续性，则P满足可列可加性，P即为概率

加法定理

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

次可加性

P(A∪B)<=P(A)+P(B)

举例：比如在样本空间Ω中有A事件和B事件，P（B）=1，虽然B事件发生的概率为1，但是它不是必然事件，即B并不是样本空间，所以A并不能包含于B思维导图模板大纲

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