数据分析与多项式计算思维导图

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2022-11-19

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MATLAB基础知识——数据分析与多项式计算

树图思维导图提供《数据分析与多项式计算》在线思维导图免费制作，点击“编辑”按钮，可对《数据分析与多项式计算》进行在线思维导图编辑，本思维导图属于思维导图模板主题，文件编号是：93dba05ded8571bdc740235cb9d32f97

思维导图大纲

5.1 数据统计分析

1. 求矩阵的最大元素和最小元素

max()：求向量或矩阵的最大元素。

当参数为向量时，上述函数有两种调用格式：

y=max(X)

返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。

[y,k]=max(X)

返回向量X的最大值存入y，最大值元素的序号存入k，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。

当参数为矩阵时，函数有三种调用格式：

y=max(A)

返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。

[Y,U]=max(A)

返回行向量Y和U，Y向量记录A中每列的最大值，U向量记录每列最大值元素的行号。

y=max(A,[],dim)

dim取1或2：

dim取1时，生成一个行向量。该函数的功能和max(A)完全相同；

dim取2时，生成一个列向量。该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。

min()：求向量或矩阵的最小元素。

同上

2. 求矩阵的平均值和中值

平均值：指算术平均值，即每项数据之和除以项数。x为向量时，返回一个数；x为矩阵是，返回一个行向量，为每列的平均值。

mean()：求算术平均值

中值：指在数据序列中其值的大小恰好处在中间的元素。如果数据个数为奇数，则取值为大小位于中间的元素；如果数据个数为偶数，则取中间两个元素的平均值。

median()：求中值

3. 求和与求积

sum(): 求和函数

prod(): 求积函数

4. 累加和与累乘积

sum(x)：把X所有元素相加

y1=prod(X)：把X所有元素累乘

cumsum()：生成一个同型向量，每个元素都是累加和

cumprod(X)：生成一个同型向量，每个元素都是累乘积

5. 标准差与相关系数

标准差

std(X)

计算向量X的标准差。S1 样本标准方差

std(X,1)

计算向量X的标准差。S2 总体标准方差

std(A)

计算矩阵A的各列的标准差。S1 样本标准方差

std(A,1)

计算矩阵A的各列的标准差。S2 总体标准方差

std(A,flag,dim)

矩阵A的标准差，在默认情况下，flag=0，dim=1。

flag取0或1：（默认flag=0）

当flag=0时，按S1所列公式计算样本标准方差；（默认）

当flag=1时，按S2所列公式计算总体标准方差。

dim取1或2：（默认dim=1）

dim取1时，生成一个行向量。（默认）

dim取2时，生成一个列向量。

例

5.2 多项式计算

1.多项式的表示

2. 多项式的四则运算

（1）多项式的加减运算

多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。

P1+P2

（2）多项式乘法

conv(P1,P2)

多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量。

（3）多项式除法

[Q,r]=deconv(P1,P2)

多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。

这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，因此有下式成立。

P1=conv(Q,P2)+r

3. 多项式的求导

（1）求多项式P的导函数。

p=polyder(P)

（2）求P×Q的导函数。

p=polyder(P,Q)

（3）求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。

[p,q]=polyder(P,Q)

4. 多项式的求值

polyval(p,x)

代数多项式求值，其中，p为多项式系数向量，x可以是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。

polyvalm(p,x)

矩阵多项式求值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。

5. 多项式的求根

在MATLAB中，多项式求根函数为roots(p)，其中p为多项式的系数向量。

roots(p)

若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：

p=poly(x)

5.6 数据插值与曲线拟合的比较

相同点：

都属于函数逼近方法

都能进行数据估算

不同点：

实现方法不同

结果形式不同

侧重点不同

应用场合不同

还是看上面小节的内容对比区别吧，这里总结的不够

5.5 曲线拟合

引例-人口预测问题

曲线拟合的原理

与数据插值类似，曲线拟合也是一种函数逼近的方法。构造函数g(x)去逼近未知函数f(x)，使得误差在某种意义下达到最小，不需要过全部样本点。

一般用3次多项式函数去逼近函数，用最小二乘法计算误差。

曲线拟合的三种功能：

最小二乘法（又称最小平方法）

是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。

曲线拟合的实现方法

MATLAB中的多项式拟合函数为polyfit()，其功能为求得最小二乘拟合多项式系数，其调用格式为：

（1）P=polyfit(X,Y,m)

根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P

（2）[P,S]=polyfit(X,Y,m)

根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S

（3）[P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)

根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，

mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)，而mu(2)是std(X)。

一般参考这个例题

5.3 数据插值

数据插值的实现方法

一维插值函数为interp1()，其调用格式为：

Y1=interp1(X,Y,X1,method)

数据插值的原理

该语句将根据X、Y的值，拟合很多个函数去逼近原函数。然后根据拟合出来的函数计算函数在X1处的值。

（这个原函数可能是不可求的，但是可以用很多函数去逼近它，让逼近函数经过所有样本点）

局限性：

不能预测未来的（样本点范围之外的值）

其中，

X、Y 是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。

X1 是一个向量或标量，表示要插值的点。

method 参数用于指定插值方法，常用的取值有以下四种：

（1）linear：线性插值，(默认方法)。

将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。

（2）nearest：最近点插值。

选择最近样本点的值作为插值数据。

（3）pchip：分段3次埃尔米特插值。

采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。

（4）spline：3次样条插值。

每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。

四种方法的比较

线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点n无关。n越大，误差越小。

3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言，3次埃尔米特插值具有保形性；而3次样条插值要求其二阶导数也连续，所以插值函数的性态更好。

二维插值函数为interp2()，其调用格式为：

Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)

X、Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。

X1、Y1是两个标量或向量，表示要插值的点。

method 参数用于指定插值方法，同上，常用的取值有以上四种：

5.4 数据插值应用举例

具体例子看PPT

904名中国成年人第三磨牙相关知识、态度、行为和病史的横断面调查思维导图

U633687664

3.9

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9.战斗的基督教思维导图

U582679646

3.63

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