MATLAB符号计算思维导图

大灰

2022-11-19

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MATLAB基础知识——MATLAB符号计算

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思维导图大纲

7.1 符号对象

1. 符号对象的建立

（1）sym函数

sym函数用于建立单个符号对象，其常用调用格式为：

符号对象名=sym(A)

将由A来建立符号对象。其中，A可以是一个数值常量、数值矩阵或数值表达式（不加单引号），此时符号对象为一个符号常量；

A也可以是一个变量名（加单引号），这时符号对象为一个符号变量。

取符号对象的值

eval(符号对象)

由以上的例子我们可以看出：

符号计算的结果是一个精确的数学表达式。

数值计算的结果是一个数值。

（2）syms命令

syms命令可以一次定义多个符号变量，其一般调用格式如下：

syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n

命令：

>> syms a b c d

其中，变量名不能加单引号，相互之间用空格隔开。

例如，要同时定义四个符号变量a、b、c、d，则可以输入如上

2. 符号对象的运算

（1）四则运算

+、-、*、/、^

符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、^ 运算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。例如：

（2）关系运算

6种关系运算符：

<、<=、>、>=、==、～=

对应的6个函数：

lt()、le()、gt()、ge()、eq()、ne()

若参与运算的是符号表达式，其结果是一个符号关系表达式；若参与运算的是符号矩阵，其结果是由符号关系表达式组成的矩阵。

在进行符号对象的运算前，可用assume函数对符号对象设置值域，

assume(condition)

指定变量满足条件condition

assume(expr,set)

指定表达式expr属于集合set

（3）逻辑运算

3种逻辑运算符：

&（与）、|（或）和～（非）。

4个逻辑运算函数：

and(a,b)、or(a,b)、not(a)和xor(a,b)。

（4）因式分解与展开运算

①对符号表达式s分解因式。

factor(s)

②对符号表达式s进行展开。

expand(s)

③对符号表达式s合并同类项。

collect(s)

④ 对符号表达式s按变量v合并同类项。

collect(s,v)

（5）其他运算

① 提取有理分式的分子分母：

[n,d]=numden(s)

② 提取符号表达式的系数：

c=coeffs(s,x)

③ 符号表达式化简：

simplify(s)

④ 符号多项式与多项式系数向量之间的转换：

符号多项式转换为多项式系数向量：

p=sym2poly(s)

多项式系数向量转换为符号多项式：

s=poly2sym(p)

补充：倒序

g=[1 2 3 4 5 6]

g=g(end:-1:1)

>>g=[6 5 4 3 2 1]

（6）符号运算中变量的确定

① 如果没有明确指定自变量，MATLAB将按以下原则确定主变量并对其进行相应运算:

寻找除i、j之外，在字母顺序上最接近x的小写字母。小写字母x是最优先的。

若表达式中有两个符号变量与x的距离相等，则ASCII码大者优先。

② symvar()函数可以用于查找一个符号表达式中的符号变量，函数的调用格式为：

symvar(s,n)

函数返回符号表达式s中的n个符号变量。因此，可以用symvar(s,1)查找表达式s的主变量。

3. 符号矩阵

符号矩阵也是一种符号表达式，所以符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。

注意：这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。

例如：建立符号矩阵并化简。

当λ取何值时，以下齐次线性方程组有非零解？

7.2 符号微积分

1. 符号函数的极限

求符号函数极限的命令为limit，其调用格式为：

limit(f,x,a)

即求函数f关于变量x在a点的极限。

limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：

limit(f,x,a,'right')

limit(f,x,a,'left')

2. 符号函数的导数

diff(f,x,n)

即求函数f关于变量x的n阶导数。

参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，默认值与limit相同，（按照系统定义的变量顺序？）

n的默认值是1。

3. 符号函数的积分

（1）不定积分

int(f,x)

即求函数f对变量x的不定积分。

（2）定积分

在MATLAB中，定积分的计算也使用int()函数，但调用格式有区别：

int(f,x,a,b)

a、b分别表示定积分的下限和上限。

当函数f关于变量x在闭区间[a,b]可积时，函数返回一个定积分结果。

当a、b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。

当a、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例题

7.3 级数

1. 级数求和

求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum()，其调用格式为：

symsum(s,v,n,m)

s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。

v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。

n和m是求和变量v的初值和末值。

2. 泰勒级数

MATLAB提供了taylor()函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：

taylor(f,v,a,Name,Value)

该函数将函数f按变量v在a点展开为泰勒级数，

v的默认值与diff函数相同，

a的默认值是0。

Name和Value为选项设置，经常成对使用，前者为选项名，后者为该选项的值。

Name有3个可取字符串：

① 'ExpansionPoint'：

指定展开点，对应值可以是标量或向量。未设置时，展开点为0。

② 'Order'：

指定截断参数，对应值为一个正整数。未设置时，截断参数为6，即展开式的最高阶为5。

③ 'OrderMode'：

指定展开式采用绝对阶或相对阶，对应值为'Absolute' 或'Relative'。未设置时取'Absolute'。

例题

复杂函数的计算方法问题

7.4 符号方程求解

1. 代数方程符号求解

在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve()实现，其调用格式为：

① solve(s)：

求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。

② solve(s,v)：

求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。

③ solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：

求解符号表达式s1，s2，…，sn组成的代数方程组，求解变量分别为v1，v2，…，vn。

符号表达式s有多种表达方式：

注意

2. 常微分方程符号求解

在MATLAB中，用大写字母D表示导数。

例如，Dy表示y'，D2y表示y''，Dy(0)=5表示y'(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y'''+y''+y'-x+5=0。

符号常微分方程求解可以通过函数dsolve()函数来实现，其调用格式为：

dsolve(e,c,v)

用于求解常微分方程e在初值条件c下的特解。

参数v是方程中的自变量，省略时按默认原则处理，

若没有给出初值条件c，则求方程的通解。

dsolve在求常微分方程组时的调用格式为：

dsolve(e1,e2,…,en,c1,c2,…,cn,v)

用于求解常微分方程组e1, e2, …, en在初值条件c1, c2, …, cn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解。

v给出求解变量，如果没有指定自变量，则采用默认自变量t。

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