第七章投资组合思维导图

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2025-06-06

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思维导图大纲

收益率、波动率

对数收益率

设不分红付息资产价格为St，其前一期的价格为St-1，则当期的对数收益率（非年化）为： Ut=ln（St/St-1）

例题分析

如果资产在T-1期和T期之间有分红，则需要将资产复权，即其收益应将分红考虑进去，当期的对数收益率（非年化）为： Ut=ln（St+Dt）/St-1

波动率

定义：波动率描述资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映资产的风险水平

波动率的估计

Excel提供了STDEV函数来直接计算波动率

公式如下：

波动率的转换

可将日波动率转换为月波动率或年波动率。设日波动率为α，则年波动率为： αy=Tα开根（其中T为一年的交易日数）

或应用Excel中提供的SQRT函数可计算开方

协方差

计算协方差时，需要两个或多个资产的收益率序列，且它们的收益率样本的时间需要保持一致，否则计算结果不能反映真实的相关关系

Excel提供了COVAR函数以供计算协方差

如若数据多的话可以用ctrl+shift+向上箭头选取

投资组合的有效前沿

基本概念

有效前沿又称有效边界。理性的投资者一般是厌恶风险而偏好收益的，对于相同的风险水平，会选择能提供最大收益率的组合；对于相同的预期收益率，会选择风险最小的组合。能同时满足这些条件的投资组合就是有效前沿。

具体分析如图

相关计算

（一）两种风险资产的组合

权重的设定与计算

这种情况下给定一个资产的权重X，则因为另一个资产的权重为1-X，故而资产组合就确定了。此时的收益和标准差分别为：

收益均值和波动率

具体计算如下图

组合边界

以波动率为横坐标、收益率为纵坐标，插入画图

多种风险资产的组合

使用情形：当组合的资产种类较多时，对最优问题的求解比较困难，一般只能得到数值解。这将介绍蒙特卡洛随机模拟寻找有效前沿

怎么使用？

就是每一个随机生成的组合用其权重向量表示，其中第j个随机组合表示为：当随机组合样本量M足够大时，则该随机组合的样本可以无限逼近可行集。

或者在Excel也可以生成随机数或随机向量，比较典型的随机数生成函数包括RAND,RANDBETWEN等

案例分析

由此即可得到a和b之间的任意随机数。我们以3只证券组合的例子进行说明。（1）计算3只证券的平均收益率和协方差矩阵，设定组合中权重的上下限a和。 (2)根据x=a+(b-a)XRAND()计算x和x，并计算x3=1-x1-2。图中设a=-1，b=1。通过下拉方法，随机生成任意多个组合样本(, r2，x)，j=1，...，M。M可以为任意自然数。（3）分别计算组合的收益和波动率，其中可用到两个Excel函数，一个是MMULT 数，用来计算矩阵与矩阵之间的乘积，一个是SUMPRODUCT函数，用以计算两个行向量或列向量的乘积之和。