高中数学说课稿：《二项式定理》思维导图

微笑感染人

2023-03-14

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高中数学说课稿：《二项式定理》思维导图，该课程是高三第一阶段复习的一部分，涉及初中学习的多项式乘法和二项式的乘方展开式。该知识点与数学的其他部分有联系，包含到多项式的变形、概率理论中的二项分布、解决某些整除性和近似计算，高考中二项式定理的试题几乎年年有，难度与课本习题相当，通常以选择题或填空题出现。本课程帮助学生理解并掌握二项式定理展开式的特征，学会应用通项公式求展开式的特定项，并提高记忆力和解决问题的数学思想方法，对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。

思维导图大纲

一、内容分析说明

1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：

（1）二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。

（2）二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。

（3）二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。

2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的

试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的

近似值。

二、学校情况与学生分析

（1）我校是一所镇普通高中，学生的基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。

（2）授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低（60﹪），注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分能机械的模仿，部分学生好记笔记。

三、教学目标

复习课二项式定理计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：

1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。

（2）会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。

2、能力目标：（1）教给学生怎样记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力，是其它能力的基础。

（2）树立由一般到特殊的解决问题的意识，了解解决问题时运用的数学思想方法。

3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，树立学好数学的信心。有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，在明年的高考中，他们也能得分。

四、教学过程

1、知识归纳

（1）创设情景：①同学们，还记得吗？、、展开式是什么？

②学生一起回忆、老师板书。

设计意图：①提出比较容易的问题，吸引学生的注意力，组织教学。

②为学生能回忆起二项式定理作铺垫：激活记忆，引起联想。

（2）二项式定理：①设问展开式是什么？待学生思考后，老师板书

=Can+Can－1b1+…+Can－rbr+…+Cbn（n∈N*）

②老师要求学生说出二项展开式的特征并熟记公式：共有项；各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。

③巩固练习填空

，

设计意图：①教给学生记忆的方法，比较分析公式的特点，记规律。

②变用公式，熟悉公式。

（3）展开式中各项的系数C,C,C,…,称为二项式系数.

展开式的通项公式Tr+1=Can－rbr,其中r=0,1,2,…n表示展开式中第r+1项.

2、例题讲解

例1求的展开式的第4项的二项式系数，并求的第4项的系数。

讲解过程

设问：这里，要求的第4项的有关系数，如何解决？

学生思考计算，回答问题；

老师指明①当项数是4时，，此时，所以第4项的二项式系数是，

②第4项的系数与的第4项的二项式系数区别。

板书

解：展开式的第4项

。

所以第4项的系数为，二项式系数为。

选题意图：①利用通项公式求项的系数和二项式系数；②复习指数幂运算。

例2求的展开式中不含的项。

讲解过程

设问：①不含的项是什么样的项？即这一项具有什么性质？

②问题转化为第几项是常数项，谁能看出哪一项是常数项？

师生讨论“看不出哪一项是常数项，怎么办？”

共同探讨思路：利用通项公式，列出项数的方程，求出项数。

老师总结思路：先设第项为不含的项，得，利用这一项的指数是零，得到关于的方程，解出后，代回通项公式，便可得到常数项。

板书

解：设展开式的第项为不含项，那么

令，解得，所以展开式的第9项是不含的项。

因此。

选题意图：①巩固运用展开式的通项公式求展开式的特定项，形成基本技能。

②判断第几项是常数项运用方程的思想；找到这一项的项数后，实现了转化，体现转化的数学思想。

例3求的展开式中，的系数。

解题思路：原式局部展开后，利用加法原理，可得到展开式中的系数。

板书

解：由于，则的展开式中的系数为的展开式中的系数之和。

而的展开式含的项分别是第5项、第4项和第3项，则的展开式中的系数分别是：。

所以的展开式中的系数为

例4如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.

解：展开式中前三项的系数分别为1，，，

由题意得2×=1+，得n=8.

设第r+1项为有理项，T=C··x，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.

有理项为T1=x4，T5=x，T9=.

3、课堂练习

1.（2004年江苏，7）（2x+）4的展开式中x3的系数是

A.6B.12C.24D.48

解析：（2x+）4=x2（1+2）4，在（1+2）4中，x的系数为C·22=24.

答案：C

2.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－）7的展开式中常数项是

A.14B.14C.42D.－42

解析：设（2x3－）7的展开式中的第r+1项是T=C（2x3）（－）r=C2·

（－1）r·x，

当－+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C（－1）6·21=14.

答案：A

3.（2004年湖北，文14）已知（x+x）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________.（以数字作答）

解析：∵（x+x）n的展开式中各项系数和为128，

∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128.

∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为T=C（x）·（x）r=C·x，

令=5即r=3时，x5项的系数为C=35.

答案：35

五、课堂教学设计说明

1、这是一堂复习课，通过对例题的研究、讨论，巩固二项式定理通项公式，加深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识，形成求二项式展开式某些指定项的基本技能，同时，要培养学生的运算能力，逻辑思维能力，强化方程的思想和转化的思想。

2、在例题的选配上，我设计了一定梯度。第一层次是给出二项式，求指定的项，即项数已知，只需直接代入通项公式即可（例1）；第二层次（例2）则需要自己创造代入的条件，先判断哪一项为所求，即先求项数，利用通项公式中指数的关系求出，此后转化为第一层次的问题。第三层次突出数学思想的渗透，例3需要变形才能求某一项的系数，恒等变形是实现转化的手段。在求每个局部展开式的某项系数时，又有分类讨论思想的指导。而例4的设计是想增加题目的综合性，求的n过程中，运用等差数列、组合数n等知识，求出后，有化归为前面的问题。