高考数学易考的62个高频考点及答题技巧思维导图

心奴

2023-03-14

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资料

高中数学学习方法

高考数学易考的62个高频考点及答题技巧思维导图，内容包含了数学中的集合、简易逻辑、函数与导数、数列、三角函数、平面向量、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线、空间简单几何体、排列、组合、二项式定理、概率与统计、复数、框图、极坐标与参数方程，针对选择题和填空题的答题技巧，如排除法、代入法，帮助考生更好的备考和应对数学考试。

思维导图大纲

高考数学62个高频考点一、集合、简易逻辑（4个）

1、元素与集合间的运算

2、四种命题之间的关系

3、全称、特称命题

4、充要条件

二、函数与导数（13个）

1、比较大小

2、分段函数

3、函数周期性

4、函数奇偶性

5、函数的单调性

6、函数的零点

7、利用导数求值

8、定积分的计算

9、导数与曲线的切线方程

10、最值与极值

11、求参数的取值范围

12、证明不等式

13、数学归纳法

三、数列（4个）

1、数列求值

2、证明等差、等比数列

3、递推数列求通顶公式

4、数列前n项和

四、三角函数（4个）

1、求值化简（同角三角函数的基本关系式）

2、正弦函数、余弦函数的图象和性质（函数图象变换、函数的周期性、函数的奇偶性、函数的单调性）

3、二倍角的正、余弦、辅助角公式的化简

4、解三角形（正、余弦定理，面积公式）

五、平面向量（3个）

1、模长与向量的数量积

2、夹角的计算

3、向量垂直、平行的判定

六、不等式（3个）

1、不等式的解法

2、基本不等式的应用（化简、证明、求最值）

3、简单线性规划问题

七、直线和圆的方程（3个）

1、直线的倾斜角和斜率

2、两条直线平行与垂直的条件

3、点到直线的距离

八、圆锥曲线（4个）

1、求标准方程

2、求离心率

3、弦长

4、直线与圆锥曲线的位置关系

九、空间简单几何体（3个）

1、线、面垂直与平行的判定

2、夹角与距离的计算

3、三视图（体积、表面积、视图判断）

十、排列、组合、二项式定理（3个）

1、分类计数原理与分步计数原理

2、排列、组合的常用方法

十一、概率与统计（6个）

1、抽样方法

2、频率分布直方图

3、古典概型与几何概型

4、条件概率

5、离散型随机变量的分布列、期望和方差

6、线性回归方程与独立性检验

十二、复数（3个）

1、复数的四则运算

2、复数的模长与共轭复数

3、复数与复平面的点的位置

十三、框图（3个）

1、按流程计算结果

2、循环结构条件的判断

3、程序语言的读取

十四、极坐标与参数方程（2个）

1、极坐标与直角坐标之间的互化

2、参数方程的化简

十五、不等式选讲（2个）

1、含绝对值不等式的解法（零点分段法）

2、利用不等式求参数的取值范围

选择题、填空题答题技巧1、排除法、代入法

当从正面解答不能很快得出答案或者确定答案是否正确时，可以通过排除法，排除其他选项，得到正确答案。排除法可以与代入法相互结合，将4个选项的答案，逐一带入到题目中验证答案。

例题：已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0，则a的取值范围为：

A、（2，+∞） B、（-∞，-2） C、（1，+∞） D、（-∞，-1）

解析：取a=3,f(x)=3x3-3x2+1，不合题意，可以排除A与C；取a=-4/3,f(x)=-4x3/3-3x2+1，不合题意，可以排除D；故只能选B

2、特例法

有些选择题涉及的数学问题具有一般性，这类选择题要严格推证比较困难，此时不妨从一般性问题转化到特殊性问题上来，通过取适合条件的特殊值、特殊图形、特殊位置等进行分析，往往能简缩思维过程、降低难度而迅速得解。

例题：2016年高考全国卷Ⅱ理数第12题

已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1/x与y=f(x)图像焦点为为（x1,y1),(x2,y2),…，（xm,ym),则∑mi=1（xi+yi）=（）

A、0 B、m C、2m D、4m

解析：由f(-x)=2-f(x)得，f(x)关于（0,1）对称，故可取符合题意的特殊函数f(x)=x+1,联立y=x+1,y=x+1/x,解得交点为（-1,0）和（1,2），所以∑2i=1（xi+yi）=（x1+y1)+(x2+y2)=（-1+0）+（1+2）=2，此m=2，只有选项B符合题意。

3、极限法

当一个变量无限接近一个定量，则变量可看作此定量。对于某些选择题，若能恰当运用极限法，则往往可使过程简单明快。

例题：对任意θ∈（0，π/2）都有（）

A sin(sinθ)

B sin(sinθ)>cosθ>cos(cosθ)

C sin(cosθ)

D sin(cosθ)

解析：当θ→0时，sin(sinθ)→0，cosθ→1，cos(cosθ)→cos1，故排除A与B；当θ→π/2时，cos(sinθ)→cos1，cosθ→0，故排除C，只能选D。

填空题速解方法1、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。

例题：

如图，设F1F2为椭圆x2/100+y2/64=1的两个焦点，P在椭圆上，I为△PF1F2的内心，直线PI交长轴于Q，则I分PQ所成的比为：

解析：将点P与短轴上端点B重合，则在直角△BF1O中，|F1B|=a=10,|F1O|=c=6,因为F1I平分角BF1O，所以BI/IO=|F1B|/|F1B|=10/6=5/3,即I分PQ所成的比为5/3

2、数形结合法

将抽象、复杂的数量关系，通过图像直观揭示出来。对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例题：

已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，若∠MAN为60度，则C的离心率为：

解析：作AP⊥MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，则MN为双曲线的渐近线y=bx/a上的点，且A（a,0）,|AM|=|AN|=b,AP⊥MN,所以∠PAN为30度，点A（a,0）到直线y=bx/a的距离|AP|=|b|/√(1+b2/a2),在Rt△PAN中，cos∠PAN=|PA|/|NA|,代入计算得a2=3b2,c=2b,所以e=c/a=2√3/3

3、等价转化法

通过"化复杂为简单、化陌生为熟悉"，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

例题：不论K为任何实数，直线y=kx+1与直线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围为

解析：题设条件等价于点（0,1）在圆内或圆上，或等价与点（0,1）到圆（x-a）2+y2=2a+4,所以-1≤a≤3

注意事项

选择题、填空题在考试时都是只要结果，不看过程。因此，可以充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做，浪费太多时间在前面的小题上。

解答题的答题技巧1、三角变换与三角函数的性质问题

①解题路线图

不同角化同角。

降幂扩角。

化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h。

结合性质求解。

②构建答题模板

化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。

求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。

反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

2、解三角函数问题

①解题路线图

化简变形；用余弦定理转化为边的关系；变形证明。

用余弦定理表示角；用基本不等式求范围；确定角的取值范围。

②构建答题模板

定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

求结果。

再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

3、数列的通项、求和问题

①解题路线图

先求某一项，或者找到数列的关系式。

求通项公式。

求数列和通式。

②构建答题模板

找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

写步骤：规范写出求和步骤。

再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

4、利用空间向量求角问题

①解题路线图

建立坐标系，并用坐标来表示向量。

空间向量的坐标运算。

用向量工具求空间的角和距离。

②构建答题模板

找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。

写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。

求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。

求夹角：计算向量的夹角。

得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。

5、圆锥曲线中的范围问题

①解题路线图

设方程。

解系数。

得结论。

②构建答题模板

提关系：从题设条件中提取不等关系式。

找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。

得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。

再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。

6、解析几何中的探索问题

①解题路线图

一般先假设这种情况成立（点存在、直线存在、位置关系存在等）。

将上面的假设代入已知条件求解。

得出结论。

②构建答题模板

先假定：假设结论成立。

再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。

下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯。定假设；若推出矛盾则否定假设。

再回顾：查看关键点，易错点（特殊情况、隐含条件等），审视解题规范性。

7、离散型随机变量的均值与方法

①解题路线图

标记事件；对事件分解；计算概率。

确定ξ取值；计算概率；得分布列；求数学期望。

②构建答题模板

定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。

定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。

定型：确定事件的概率模型和计算公式。

计算：计算随机变量取每一个值的概率。

列表：列出分布列。

求解：根据均值、方差公式求解其值。

8、函数的单调性、极值、最值问题

①解题路线图

先对函数求导；计算出某一点的斜率；得出切线方程。

先对函数求导；谈论导数的正负性；列表观察原函数值；得到原函数的单调区间和极值。

②构建答题模板

求导数：求f(x)的导数f′(x)，注意f(x)的定义域。

解方程：解f′(x)＝0，得方程的根。

列表格：利用f′(x)＝0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。

得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。

再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性。

遇到大题怎么做1、做——常规题目直接做

在理解题意后，立即思考问题属于哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这样一想，做题的方向就有了。

2、套——陌生题目往熟套

高考题目一般而言，很少会出怪题、偏题。很多题目乍一看是新题型，没见过；但是换个角度思考一下；或者试着往下面运算两步、做一下变形，就会回到你熟悉的套路上去。因此遇到没做过的题型，不要慌张，尝试往自己做过的题目上套。

3、推——正面难解反向推

后面的大题，尤其是一些证明题，不少同学会发现正面推到一半推不下去了。这时候不妨尝试从结果开始反向推理证明。或者想一想，想要得出结果，需要哪些已知条件，这些条件能够通过哪些方式获得。从两头入手，向中间挤压、合拢，尽可能完成题目。

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九、空间简单几何体（3个）

十、排列、组合、二项式定理 （3个）

十一、概率与统计（6个）

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